對於兩個非零實數a與b 考慮a加b的絕對值 與a的絕對值加b的絕對值的關係 當a與b同號時 可知a加b的絕對值 等於a的絕對值加b的絕對值 例如 7加3的絕對值 等於7的絕對值加3的絕對值 -6加-4的絕對值 等於-6的絕對值加-4的絕對值 當a與b異號時 因為a加b會產生相互抵銷的情形 所以a加b的絕對值 會小於a的絕對值加b的絕對值 例如 7加-3的絕對值 小於7的絕對值加-3的絕對值 -6加4的絕對值 小於-6的絕對值加4的絕對值 因此對於任意非零實數a與b 總和的絕對值 始終小於等於 個別絕對值的總和 也就是a加b的絕對值 小於等於a的絕對值加b的絕對值 這樣的不等式我們稱為 實數的三角不等式 特別的等號成立時 發生在a與b為同號的時候 意即a乘以b大於0 在瞭解了實數領域中的三角不等式之後 我們想要探討在向量的領域裡 是否也有類似的結論 也就是a向量加b向量的絕對值 會不會小於等於 a向量的絕對值加b向量的絕對值 對於兩個非零向量a向量與b向量 考慮合力的大小 a向量加b向量的絕對值 與a向量絕對值加b向量絕對值的關係 當a向量與b向量為不平行的兩向量 考慮合力a向量加b向量 在幾何上我們可以用三角形的三個邊 來呈現a向量 b向量 與a向量加b向量的相對關係 可知a向量與b向量為三角形的兩邊時 則第三邊即為a向量加b向量的幾何表示 由於a向量 b向量與a向量加b向量 形成一個三角形的三邊關係 可知第三邊的長度始終小於 另外兩邊長的總和 因此a向量加b向量的絕對值 小於a向量的絕對值加b向量的絕對值 當a向量與b向量為反方向時 因為合力a向量加b向量 會直接產生抵銷作用 所以在幾何上容易看出 a向量加b向量的絕對值 小於a向量的絕對值加b向量的絕對值 也成立 當a向量與b向量為同方向時 因為合力a向量加b向量 會直接延伸向量長度 所以在幾何上即可看出 a向量加b向量的絕對值 等於a向量的絕對值加b向量的絕對值 綜合上述的討論 對於任意非零向量a向量與b向量 可知合力的長度 始終小於等於 個別長度的總和 也就是a向量加b向量的絕對值 小於等於 a向量的絕對值加b向量的絕對值 這樣的不等式 我們稱為向量的三角不等式 特別的等號成立時 發生在a向量與b向量為同方向的時候 從向量的幾何表示法 我們很容易的可以解釋 a向量加b向量的絕對值 小於等於 a向量的絕對值加b向量的絕對值 恆成立 然而我們也可以透過代數的方法 來證明向量的三角不等式 對於兩個非零向量a向量與b向量 因為a向量‧b向量 等於a向量的絕對值乘b向量的絕對值 乘cos θ 所以當我們排除cos θ的因素之後 cos θ大於等於-1 小於等於1 即可得知內積的值總是小於等於 向量長度的乘積 也就是a向量‧b向量 小於等於 a向量的絕對值乘b向量的絕對值 其中等號成立發生在 cos θ等於1時 意即θ等於0 此時a向量與b向量為同方向 因為a向量‧b向量小於等於 a向量的絕對值乘b向量的絕對值 考慮a向量加b向量的絕對值的平方 等於括號a向量加b向量 ‧括號a向量加b向量 等於a向量絕對值的平方 加b向量絕對值的平方 加2倍的括號a向量‧b向量 小於等於a向量絕對值的平方 加b向量絕對值的平方 加2倍的a向量絕對值乘b向量絕對值 等於a向量絕對值加b向量絕對值 括號的平方 所以可得三角不等式 a向量加b向量的絕對值 小於等於 a向量的絕對值加b向量的絕對值 而等號成立的時候 即表示a向量與b向量為同方向 我們可以得到從幾何上觀察到的相同結論 對於三角不等式我們有以下結論 對於兩個非零實數a與b 則a加b的絕對值 小於等於a的絕對值加b的絕對值 恆成立 其中等號成立時即a與b為同號 對於兩個非零向量a向量與b向量 則a向量加b向量的絕對值 小於等於 a向量的絕對值加b向量的絕對值 恆成立 其中等號成立時 即a向量與b向量為同方向 接下來針對三角不等式 我們來討論幾個特殊的情形 在實數的三角不等式中 如果實數a等於0或b等於0時 則a加b的絕對值 等於a的絕對值加b的絕對值 此時等號也是成立的 所以對於任意實數a與b 則a加b的絕對值 小於等於a的絕對值加b的絕對值 恆成立 其中等號成立的條件 即可修改為a與b同號 或a等於0或b等於0 亦可整合為ab大於等於0 同樣的在向量的三角不等式中 如果a向量等於0向量 或b向量等於0向量 則a向量加b向量的絕對值 等於a向量的絕對值加b向量的絕對值 此時等號也是成立的 所以對任意向量a向量與b向量 則a向量加b向量的絕對值 小於等於 a向量的絕對值加b向量的絕對值 恆成立 其中等號成立的條件即可修改為 a向量與b向量為同方向 或a向量等於0向量 或b向量等於0向量