考慮坐標平面上三點 O A B 若要求出三角形OAB的面積 我們可以試著畫輔助線 利用梯形與直角三角形的面積 來求出三角形OAB的面積 三角形OAB的面積 等於三角形OBC的面積 加梯形ABCD的面積 減三角形OAD的面積 等於2分之2乘以5 加2分之括號2加5乘以括號4減2 減2分之4乘以2 等於5加7減4 等於8 若在坐標平面上的第一象限 任取兩點A B 其中a大於c d大於b 則運用類似的方法亦可求得 三角形OAB的面積 三角形OAB的面積 等於三角形OBC的面積 加梯形ABCD的面積 減三角形OAD的面積 等於2分之cd 加2分之括號b加d乘以括號a減c 減2分之ab 等於2分之1括號ad減bc 由此可知三角形OAB的面積 可以用A B兩點的坐標來表示 這個單元 我們將介紹如何利用 三角形三頂點的坐標 能有效率的求出三角形的面積 在坐標平面上 給定兩個不平行的向量 a向量 b向量 其中夾角為θ 則這兩個向量將會決定出一個 唯一的三角形 這意味著三角形的面積可由 a向量 b向量所決定 我們令此三角形的面積為S 利用基本的三角形面積公式 我們可知S等於 2分之1 a向量的長度 乘以b向量的長度 乘以sin θ 因為sin平方θ加cos平方θ等於1 所以sin平方θ等於1減cos平方θ 考慮S的平方等於 4分之1乘以a向量的長度的平方 乘以b向量的長度的平方 乘以sin平方θ 將sin平方θ代換為1減cos平方θ後 可得4分之1乘以a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 乘以括號1減cos平方θ 將其展開後可得 4分之1乘以括號a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 減a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 乘cos平方θ 再根據內積的定義可將此式化簡為 4分之1乘以括號a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 減a向量‧b向量的平方 所以S等於2分之1根號 a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 減a向量‧b向量的平方 即為a向量與b向量所決定的三角形面積 這表示只要透過兩向量的長度與內積 就可以求得兩向量所決定的三角形面積 考慮坐標平面上三點 O A B 令a向量等於向量OA等於 b向量等於向量OB等於 運用a向量 b向量的長度與內積 即可求得三角形OAB的面積為 2分之1根號a向量的平方 乘b向量的平方 減a向量‧b向量的平方 等於2分之1根號 括號4平方加2平方 乘以括號2平方加5平方 減括號4乘以2加2乘以5的平方 等於2分之1根號 20乘29減18的平方 等於2分之1根號256 等於2分之16 等於8 已知a向量與b向量所決定的三角形面積 為2分之1根號a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 減a向量‧b向量的平方 我們將a向量與b向量的坐標分量代入整理 試著從中看出面積與坐標分量的關係 令a向量等於 b向量等於 代入後可得三角形的面積為 2分之1根號a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 減a向量‧b向量的平方 等於2分之1根號 括號a 的平方加a 的平方 乘上括號b 平方加b 平方 減掉括號a b 加a b 的平方 展開整理後可得 2分之1 a 平方b 平方 加a 平方b 平方 減2a b a b 進一步表示為2分之1根號 括號a b 減a b 的平方 將根號化簡後可得 2分之1乘以a b 減a b 的絕對值 由此看出兩向量的坐標分量 與三角形面積的直接關係 讓我們重新來看先前的例子 a向量等於與b向量等於 則利用坐標分量可求得 兩向量所決定的三角形面積為 2分之1乘以4乘以5 減2乘以2的絕對值 等於8 這與先前我們利用長度與內積 求得的值有一致性 對於面積問題 我們得到了一個簡潔的求值方式 兩向量a向量等於 與b向量等於 所決定的三角形面積為 2分之1乘以a b 減a b 的絕對值 對於絕對值內的式子 我們特別設計一個書寫的方式來表示 將a向量的兩個分量依序記錄在第一列 將b向量的兩個分量依序記錄在第二列 並在兩側分別畫上一條長線段 將這樣書寫出來的方式視為一個符號 將其定義為實數a b 減a b 我們將這樣書寫出來的符號 稱為二階行列式 其定義為交叉相乘再相減的值 一個二階行列式 是由四個數字所構成的一個符號 這個符號代表一個實數 是將這四個數字的 左上跟右下相乘 減去右上跟左下相乘的值 我們可簡稱交叉相乘再相減 然而符號中兩側的長線段 代表的是行列式的符號 我們要避免將行列式的符號 誤認為是絕對值的符號 例如行列式3 5 2 8的值 為3乘以8減5乘以2 等於14 行列式-3 4 5 2的值 為-3乘以2減4乘以5 等於-26 不難得知二階行列式的值 事實上蘊藏著面積的概念 考慮兩向量a向量等於 b向量等於 則a向量與b向量所決定的三角形面積 為2分之1行列式a a b b 的絕對值 a向量與b向量所張開的平行四邊形面積為 行列式a a b b 的絕對值 特別注意兩向量a向量等於 b向量等於 所張開的平行四邊形面積 為二階行列式的絕對值 其中長線段是二階行列式的符號 而外側的兩條短線段是絕對值的符號 在解讀式子的時候 我們要能夠區分清楚喔