上個單元我們介紹了 二階行列式的概念 一個二階行列式 是由四個數字排成兩行兩列 並搭配兩側的長線段 所構成的一個符號 這個符號代表一個實數 為左上跟右下相乘 減去右上跟左下相乘的值 有關這個交叉相乘再相減的概念 這個單元我們將介紹二階行列式 有什麼樣的運算性質及其應用 以下將依序說明 二階行列式具備的運算性質 性質一 行列互換其值不變 這個意思故名思義 就是將每一橫列的元素 依序改寫成直行 則產生新行列式的值 並不會有任何的改變 考慮原二階行列式為 行列式a b c d 行列互換後即為行列式a c b d 可以發現兩者的值皆為ad減bc 例如行列式1 2 3 4行列互換後 可得行列式1 3 2 4 而兩個行列式的值皆為-2 性質二 兩列互換或兩行對調其值變號 若將行列式a b c d上下兩列對調 則可得行列式c d a b 因為行列式a b c d等於ad減bc 且行列式c d a b等於bc減ad 可知新的行列式的值 與原行列式的值相差一個負號 例如行列式1 2 3 4的值為-2 上下兩列對調之後 可得行列式3 4 1 2 其值為2 可知兩個行列式的值相差一個負號 若將行列式a b c d左右兩行對調 則可得行列式b a d c 因為行列式a b c d等於ad減bc 且行列式b a d c等於bc減ad 可知新的行列式的值 與原行列式的值相差一個負號 例如行列式1 2 3 4的值為-2 左右兩行對調之後 可得行列式2 1 4 3 其值為2 可知兩個行列式的值相差一個負號 性質三 兩列成比例或兩行成比例 其值為零 考慮上下兩列成比例的行列式a b ra rb 其中r為實數 則行列式值為rab減rab等於0 故上下兩列成比例的行列式值必為零 同理考慮左右兩行成比例的行列式a ra b rb 則行列式值為rab減rab等於0 故左右兩行成比例的行列式值也必為零 例如行列式2 3 4 6 可以發現上下兩列成比例 同時左右兩行也成比例 因此不論是用行的觀點或是列的觀點 其值必為零 性質四 同列或同行可提出實數作為倍率 假設二階行列式的第一列 分別為ra與rb 那麼行列式ra rb c d的值為 為rad減rbc等於r乘以括號ad減bc 我們可以發現其值為行列式a b c d的r倍 因此我們可以將第一列的實數r 同時提出作為倍數 可得行列式ra rb c d 等於r乘以行列式a b c d 例如行列式4 2 5 7 將第一列提出公因數2之後 可以表示為2乘以行列式2 1 5 7 兩者的值是相等的 同理我們也可以將第二列 第一行或第二行提出實數作為倍率 例如行列式5 2 6 9 等於3乘以行列式5 2 2 3 或是行列式3 5 6 7 等於3乘以行列式1 5 2 7 或是行列式3 10 4 15 等於5乘以行列式3 2 4 3 以上性質同學們可以試著自己證明看看喔 性質五 行列式可針對某列或某行中的各數 拆解成兩個行列式相加 考慮行列式a b c d 將第一列的數字a與b 分別拆解為a 加a 與b 加b 將原行列式表示為 行列式a +a b +b c d 考慮行列式a b c d 加行列式a b c d的值 等於括號a d減b c加括號a d減b c 整理後可得 括號a 加a 乘以d減掉括號b 加b 乘以c 等於ad減bc 可以發現針對第一列 拆解後的兩個行列式的總和 與原行列式的值相等 也就是行列式a +a b +b c d 等於行列式a b c d 加行列式a b c d 例如行列式8 5 7 4 等於行列式3+5 2+3 7 4 等於行列式3 2 7 4加行列式5 3 7 4 同理我們也可以針對第二列 第一行或第二行拆解為兩個行列式的和 這個部分就留給同學們自己檢驗看看喔 性質六 將某列的各數加上另一列乘上r的數 其值不變 考慮行列式a b c d 將第二列的數字加上第一列的r倍後 可得行列式a b c+ra d+rb 其值為a乘以括號d加rb 減b乘以括號c加ra 整理後可得ad減bc 可以發現與原行列式的值是相等的 例如行列式2 3 4 10等於8 若將第二列的數字加上第一列的-2倍後 可得行列式2 3 0 4 其值也等於8 因此兩個行列式的值是相等的 當然我們也可以將第一列的數字 加上第二列的2分之-1倍 可得行列式0 -2 4 10等於8 行列式的值仍舊不變 性質六若以行的觀點來看 將某一行的數字加上另一行乘上r的數 其值也不變 例如行列式2 3 4 10等於8 將第二行的數字加上第一行的-1倍 可得行列式2 1 4 6 其值也等於8 詳細的證明同學們可以試著自己完成喔 二階行列式的絕對值 在幾何上表示兩向量所決定的 平行四邊形面積 若不考慮絕對值 那麼二階行列式值的正負號 在幾何上代表什麼意義呢 我們舉例來觀察現象 先觀察行列式4 3 2 5 因為行列式值為14 這表示a向量等於 與b向量所決定的 平行四邊形S1的面積為14 從坐標平面上的圖形 可以看出平行四邊形S1是由a向量 逆時針掃至b向量所決定的區域 再觀察行列式4 3 3 -2 因為行列式值為-17 這表示a向量等於 與c向量等於所決定的 平行四邊形S2的面積為17 從坐標平面上的圖形 可以看出平行四邊形S2是由a向量 順時針掃至c向量所決定的區域 事實上這樣的現象是具有一般性的 考慮a向量等於 與b向量等於 所決定的平行四邊形 在幾何上若為a向量逆時針掃至b向量 此時行列式a a b b 的值必為正數 相對的在幾何上若為 a向量順時針掃至b向量 此時行列式a a b b 的值必為負數 由此可知 行列式值的正負號 反應著兩向量相對位置的順逆時針關係 同學們可以試著利用極坐標 與和差角公式來完成證明喔 當我們對調行列式兩列的順序時 則兩向量的相對位置 在順逆時針上則有所改變 因此行列式值相差一個負號 從幾何的觀點由此也可以解釋 行列式的性質二 對調兩列其值變號 對於先前介紹行列式的六個性質 同學們也都可以嘗試用幾何的觀點來解釋喔