在上一支生活中的比例影片當中 我們欣賞了一些美的作品 像是蒙娜麗莎和希臘帕德嫩神廟 這些作品是否藏著特殊的比例呢 概念1 生活中的黃金比例 如果現在有一條線段AB 我們要在這線段放上點P 使其分割成AP和PB兩小段 你覺得點P放在哪個位置 可以使分割出來的兩小段 看起來比例最和諧呢 或許每個人覺得看起來 最和諧的點P位置未必相同 但其中一種讓許多人 感到和諧的分割方式 就是讓全段長比上長段長 等於長段長比上短段長 亦即AB比AP等於AP比PB 這樣的分割方式 稱為黃金分割 此時點P稱為黃金分割點 同學們是否覺得這樣的分割方式 令人感到和諧呢 黃金分割的比值等於AP分之AB 等於BP分之AP 稱為黃金比例 黃金比例的確切數值是多少呢 設AP等於x PB等於y 則黃金比例等於y分之x 由黃金分割的定義 AB比AP等於AP比PB 可以得到 括號x加y比x等於x比y 內項乘積等於外項乘積 x平方等於括號x加y乘上y 乘開可得 x平方等於xy加y平方 方程式同除以y平方可得 y平方分之x平方 等於y分之x加1 令y分之x等於1 則t平方等於t加1 移項可得 t平方減t減1等於0 利用公式解得到 t等於2分之1加減根號5 由於t是正數 取t等於2分之1加根號5 故黃金比例 y分之x等於t 等於2分之1加根號5 利用計算機計算 可得2分之1加根號5 大約為1.61803398 我們通常就取黃金比例的近似值為1.618 黃金比例經常出現在生活周遭 例如自然界中的鶴 建築界中加拿大國家電視塔等 都是符合或接近黃金比例的例子 為什麼有時候我們會認為 某個人穿高跟鞋比較美 某個人穿低腰褲比較搭 某個人穿長版衣服比較好看 因為人體也有黃金分割點 肚臍是頭頂到腳底的黃金分割點 頸部是頭頂到肚臍的黃金分割點 膝蓋是肚臍到腳底的黃金分割點 雖然不一定每個人都會覺得 符合這樣的比例就是好看 畢竟每個人的審美觀不同 但符合這樣的比例 會讓人感到比較和諧 在藝術創作上 讓人覺得耐看的作品 也經常會符合或接近黃金比例 例如米洛的維納斯 和米開朗基羅的大衛像 概念2 費氏數列與黃金比例 接下來介紹一道經典的數學問題 某種兔子剛出生的時候是幼兔 幼兔經過一個月會成長為成兔 將一對雌雄成兔養在一起 每經過一個月就會生出一對雌雄幼兔 而且這種兔子不會死掉 若起初第1個月有一對幼兔 經過十二個月來到了第13個月 總共會有幾對兔子呢 每個月兔子的數量如表格呈現 以第5個月為例 因為每對成兔每經過一個月 會生下一對幼兔 所以第5個月的幼兔對數 等於第4個月成兔對數 因為幼兔經過一個月會成長為成兔 所以第4個月成兔對數 等於第3個月兔子對數 同理第5個月成兔對數 等於第4個月兔子對數 因此第5個月兔子對數 等於第3個月兔子對數 加上第4個月兔子對數 由上述可知 每個月的兔子對數 會等於前兩個月的兔子對數相加 每個月的兔子對數形成數列 這個數列的特性 就是每一項會等於前兩項相加 費波那契因為探討上述兔子問題 而成為最早開始研究此數列的人 因此該數列被稱為 費波那契數列 又稱為費氏數列 而數列中的數稱為費氏數 在自然界中常常可以見到費氏數 例如花瓣數 向日葵順時針及逆時針螺旋數 概念3 黃金矩形與等角螺線 什麼是黃金矩形呢 如果一個矩形的長寬比等於黃金比例 我們就稱該矩形為黃金矩形 19世紀的德國心理學家費希納 做了一項心理實驗 他建構了十種不同長寬比的矩形 讓受試者選出最佳和最差的矩形形狀 被最多參與者選為最佳 和被最少參與者選為最差的矩形的比率 為34比21 34和21為費式數列的相鄰兩項 其比值接近黃金比例 由此實驗可知多數人認為黃金矩形 是看起來最和諧的矩形 黃金矩形在藝術界和建築界都有廣泛的應用 例如蒙娜麗莎臉部大小符合黃金矩形 帕德嫩神廟的長寬比也符合黃金矩形 黃金矩形還有一個特性 當移除掉黃金矩形內最大的正方形後 保留下來的矩形一樣是黃金矩形 因為黃金矩形有上述性質 所以我們可以連續切割正方形 而不斷形成黃金矩形 接著在每個正方形的內部 都畫上四分之一的圓弧 最後這些圓弧連接構成的圖案 稱為黃金螺線 利用這樣的方式繼續畫螺線 最後會很靠近一個點O 螺線與矩形相切於點A B C D 連接線段OA OB OC OD 發現這些線段與該處切線 所形成的夾角竟然都一樣大 其實黃金螺線不只在點A B C D 有這樣的性質 點O與螺線上任一點連線線段 和該處切線所形成的夾角 都是一樣大 有這樣性質的螺線 統稱為等角螺線 而黃金螺線是等角螺線的其中一種 自然界中也可以見到黃金螺線的身影 像是鸚鵡螺和星系