花紋 字型 商標 產品和建築 都是因為蘊含著數學原理 其美麗才得以綻放 本支影片介紹數學與設計 包含極坐標圖形設計 黃金比例與設計 圓角設計 拱形設計 想要用極坐標設計美麗的圖形 同學們可以上網搜尋Desmos軟體 利用Desmos繪製極坐標方程式的圖形 先點選右側扳手圖案 將網格選成蜘蛛網狀的極坐標 在左方輸入極坐標方程式 即可呈現方程式的圖形 例如輸入r=1-sin θ 會出現愛心的形狀 其中θ用英文輸入theta即可 按右側+號將圖案放大 可以看得更清楚 再試試看其他方程式 輸入r=sin aθ 點選新增滑桿a 如此一來可以呈現r=sin 1θ 其中θ大於等於0 小於等於π a等於1的圖形 同學們可以試著設定θ的範圍及移動滑桿a 看看呈現出來的圖形會是什麼樣子 例如θ大於等於0 小於等於4π a等於1.5 其中π用英文輸入pi即可 又如θ大於等於0 小於等於10π a等於3.2 Desmos三角函數直接輸入不能超過2次方 所以cos4次方θ要輸入為 cos平方θ乘上cos平方θ 若想繪製r=sin3次方θ+cos4次方θ 則須輸入 r=×sin θ+× 上部影片所教的黃金螺線方程式 是r等於ae的bθ次方 其中a 、b是常數 e是自然常數 利用Desmos輸入r等於ae的bθ次方 並新增全部滑桿 設定θ範圍及調整滑桿a、b 觀察不同數值所產生的黃金螺線 請同學們嘗試輸入不同的方程式 發現美麗的圖形吧 黃金比例帶給人和諧的感覺 因此有些商標會利用黃金比例的原理設計 例如國家地理的矩形商標 比例很接近黃金矩形 TOYOTA的商標由三個橢圓組成 可以從商標當中看出 TOYOTA的英文字母 其中橢圓的位置接近黃金比例 上支影片介紹過黃金矩形 可以連續切割正方形 而不斷形成黃金矩形 在每個正方形內畫四分之一圓弧 可以構成黃金螺線 由於費氏數列後項除以前項 會接近黃金比例 因此利用費氏數列當成正方形邊長 拼湊出的矩形 比例會接近黃金矩形 在每個正方形內畫四分之一圓弧 構成的圖案接近黃金螺線 若改成在每個正方形內畫圓 這些圓的直徑就恰好是費氏數列 許多設計師會利用這些元素來設計圖案 例如越南的平面設計師Dainogo繪製的狐狸 既美觀又令人耳目一新 圓形帶給人們融洽 柔和 舒適 可愛 安全的感受 因此字型 商標 產品 常會出現圓角設計 字型方面 例如思源柔黑體 將字的稜角都以圓弧形狀修飾 讓人覺得容易親近 在適當的場合 文件 報告 使用適當的字型是很重要的 思源柔黑體的架構方正 稜角柔和 適合用在正式又親切的場合 像是國小的成果發表會 就很適合使用這種字型 商標方面 例如Instagram及漢堡王都是使用圓角設計 手機 桌子 烤盤等產品 設計成圓角 可以變得安全又美觀 至於要怎麼將尖角利用繪圖的方式 修改成圓角呢 如果要將圖中角ABC的尖角 修改成半徑是1公分的圓角 首先作出角ABC的角平分線L1 再作一條垂直線段BC的直線L2 在L2上距離線段BC1公分處取一個點D 過點D作一條垂直L2的直線L3 交L1於點E 過點E作垂直線段BC的直線L4 交線段BC於點F 過點E作垂直線段AB的直線L5 交線段AB於點G 以E為圓心 線段EF長為半徑 畫出圓弧FG 這樣就成功將尖角修改成圓角了 梁結構是建築物中的水平結構 通常架在柱之上 承載鉛直向下的力 圓拱結構的型態定義為 中央上半成圓弧曲線的結構 結構物在受到外力作用時 內部所產生的反作用力稱為內力 分為壓力 拉力 剪力 彎矩與扭力等五種 比較梁結構與圓拱結構 在梁中央上方放一重物 重物向下的力會使梁產生剪力 因此梁很可能因為承受不住而斷裂 換作在圓拱中央上方放一重物 重物向下的力是整個圓拱的壓力承擔 並把向下的力分給柱支撐 因此拱面較不會斷裂 但會產生水平分力 所以有可能會從兩側倒塌 為了避免梁結構產生過量的剪力 必須在梁的下方多建置幾根柱來支撐 至於圓拱結構 必須在兩側建造牆壁來抑制水平分力 古羅馬競技場 法國的巴黎凱旋門 都是使用圓拱結構 再來介紹尖拱結構 其形態定義為中央上半 由兩條相等的圓弧所形成的結構 尖拱的圓弧取決於半徑大小 半徑不一樣圓心所在的位置就會改變 相較於圓拱 給予同樣鉛直向下的力 尖拱所受的水平分力較小 較不容易倒塌 因此能夠承載的重量比較大 建築物也能蓋得比較高 尖拱普遍出現在哥德式建築之中 例如法國的巴黎聖母院 奧地利的聖斯德望主教座堂 另外義大利的米蘭主教座堂 圓拱和尖拱搭配使用十分壯觀