上圖為一台相機利用三角架

直立在地面上之情形

大家知道為何相機能穩穩直立在地面上嗎

答案是

不共線三點能決定出一個平面

因為三角架直立在地面上

它與地面上有三個不共線之接觸點

而這三個不共線之接觸點

正好形成一個平面

它正是相機能穩穩直地在地面上之關鍵

除剛才所提的三角架中

不共線三點決定唯一平面外

空間中決定一平面的情形還有以下三種

一直線及不在此直線上的一點

恰交於一點的相異兩直線

兩平行直線

空間中兩條直線的關係

接下來我們介紹空間中兩條相異直線的關係

上圖是大家最熟知的長方體

可以輔以觀察兩條稜邊所在直線的關係

當兩相異直線共面時

由上述可知

這兩個直線的關係為平行

如右圖中的L1與L2

此時以L1平行L2表示

或恰交於一點如圖中的L2與L3

特別的是

當恰交於一點的兩條直線夾角為90度

我們稱兩直線垂直

如右圖中的L2與L3

此時以L2垂直於L3表示

兩相異直線不共面時

如L1與L3

此時稱L1與L3為歪斜線

或稱兩直線歪斜

由於L1與L3不共平面

由前述決定平面的條件可知

L1與L3既不平行也不相交

生活中為了便利通行

會讓一些路線在不同平面上交叉穿越

如捷運的路軌

高速公路的交流道等

都是歪斜線的應用

課程進行到這邊

我們先來幫同學們做個重點整理

這個題目是利用生活情境題介紹歪斜線之概念

如下圖A B C D E F G H

為正立方體的八個頂點

試問若只考慮正立方體這12條稜邊

每兩個稜邊為一組

請問共可形成幾組歪斜線呢

解答

想像一下若以線段DH為例

與線段DH邊互為歪斜線的稜邊

有線段AB 線段EF 線段BC 線段GF

這四條稜邊

而正立方體有12條稜邊

且每個稜邊都有4條稜邊與其互為歪斜線

根據乘法原理

原本應該有12乘以4

也就是48組歪斜線

但是以線段DH為例

線段DH與線段AB互為歪斜線

但若以線段AB為例

線段AB與線段DH互為歪斜線

而這兩種互為歪斜線

其實是同一種

因此每兩種算法應該還需視為同一種算法

因此12乘以4後

需再除以2

也就是24組歪斜線

因此此題答案為24組

課程進行到這邊

我們再來幫同學們做個重點整理

接下來是較複雜的正方體之歪斜線問題

如圖A B C D E F G H

為正立方體的八個頂點

試問若考慮正立方體這八個頂點

任兩個頂點連線所形成的邊

每兩個邊為一組

請問共可形成幾組歪斜線呢

若考慮這八個頂點

每兩個頂點一組連線

共可形成28條直線

而這28條直線中

任兩條直線為一組

又可形成幾組歪斜線呢

這是一題較複雜的歪斜線問題

當中有較複雜的排組計算隱藏其中

如果同學想不出來

老師給大家兩個提示喔

提示1的答案應該是58種

為什麼呢 請大家想想看喔

也就是說連接正立面體之任四個任意頂點

共可形成58個四面體

提示2的答案應該是3種

為什麼呢 也請大家再想想看

所以根據乘法原理

最後的答案是58乘以3

也就是174種囉

再次提醒各位同學

此題為較複雜之排列組合計算

若一開始不會也別灰心喔

請耐心學習並跟學校老師請教

或跟同學討論喔

此單元為空間概念入門

請大家務必認真學習

釐清觀念與認真練習喔

加油