前面幾支影片中

我們已經介紹了平面與平面的關係

直線與平面的關係

接下來這支影片就要來看

直線與直線的關係囉

在進入今天影片的重點之前

先確認同學們還記不記得

空間中兩條直線的關係有哪些情形

我們知道在空間中兩條直線的關係

有四種情形

分別是平行

重合

交於一點

和歪斜

不過我們該如何透過兩直線的方程式

就判斷出這兩直線的關係呢

今天這支影片的重點就是要來介紹

如何以直線方程式判斷兩直線的關係

我們知道寫出直線方程式需要兩個條件

分別是直線的方向向量

和直線上一點

仔細觀察一下兩直線的關係

這四種情形

會發現其實可以透過直線方程式的

這兩個條件性質

來將這四種情形簡單分類

例如以兩直線的方向向量

是否平行來分類

或是以兩直線是否有交點來分類

同學們一起來觀察看看

並將四種情形做分類吧

整理一下前面的分類

我們可以將這兩種分類結果

統整成一張樹狀圖

首先將這四種情形

先依照兩直線方向向量

是否平行分成兩類

接著分別依照兩直線是否有交點

再分成兩類

這樣我們就成功利用兩性質

區分出兩直線的四種情形了

我們用表格再來統整一次吧

利用兩直線方向向量的平行

不平行

兩直線有交點

無交點

可以區分成四格不同情形

接下來換同學們來試著

把每一格的答案填入吧

有了這個樹狀圖和表格的分類後

當我們看見兩直線方程式

要判斷關係時

就可以透過第一步驟

觀察兩直線方向向量是否平行

先找出兩種可能的關係

再透過第二步驟

觀察兩直線是否有交點

得到兩直線關係的最後答案

一起來看一下這個例題吧

給定兩直線L1

2分之x等於1分之y減3

等於1分之z減2

L2 4分之x減2等於2分之y減4

等於2分之z減3

判斷L1與L2的關係為何

根據前面的分類

首先要判斷兩直線的方向向量是否平行

從兩直線比例式中

可以取直線L1的方向向量

V1向量等於

直線L2的方向向量

V2向量等於

因為V1向量和V2向量的x y z分量成比例

可知V1向量平行於V2向量

因此L1與L2的關係可能為重合或平行

接著要判斷兩直線是否有交點

從重合和平行的圖中可知

若兩直線關係為重合

則直線L1上的任一點也會在直線L2上

即直線L1上的任一點坐標

代入直線L2方程式中皆成立

反之若兩直線關係為平行

則直線L1上的任一點都不會在直線L2上

即直線L1上的任一點坐標

代入直線L2方程式中皆不成立

所以若要判斷兩直線是否有交點

我們可以取直線L1上的一點坐標

代入直線L2方程式中

看方程式是否成立

從直線L1比例式中

我們可以取L1上一點

代入L2方程式中

可得4分之-2等於2分之-1

等於2分之-1

此方程式成立

代表兩直線有交點

因此L1與L2的關係為重合

接下來看這一題

給定兩直線L1為

2分之x加1等於1分之y減1

等於-2分之z減1

L2為4分之x減1等於2分之y加2

等於-4分之z減1

判斷L1與L2的關係為何

一樣根據我們的分類

首先要判斷兩直線的方向向量是否平行

從兩直線比例式中

可以取直線L1的方向向量

V1向量等於

直線L2的方向向量

V2向量等於

因為V1向量和V2向量的x y z分量成比例

可知V1向量平行於V2向量

因此L1與L2的關係可能為重合或平行

接著判斷兩直線是否有交點

我們可以從直線L1比例式中

取L1上一點

代入L2方程式中

可得4分之-2等於2分之3

等於-4分之0

因為此方程式不成立

代表兩直線沒有交點

因此L1與L2的關係為平行

在今天這支影片中

我們介紹了如何以直線方程式

判斷兩直線的關係

從前面的觀察發現

已知兩直線方程式要判斷其關係時

可以利用直線方向向量是否平行

先將兩直線關係區分成兩類

接著計算兩直線是否有交點

即可得到兩直線的關係為何了

今天我們已經介紹兩直線

重合和平行的例子了

下一次我們就會來看兩直線

交於一點和歪斜的例子囉

那我們下次再見 掰掰