在探討完空間中平面與平面的關係後

接下來這支影片

即將看見空間中直線與平面的關係囉

首先我們關心空間中直線與平面

會有哪些關係

各位同學可以將平面想成一片透明片

將直線想成一條雷射光束

想想看透明片與雷射光束

可以構成哪些關係

同時就會是平面與直線

可以構成的關係唷

知道空間中一條直線與一個平面

有交於一點

直線落在平面上

平行三種情形後

又該如何判斷給定的直線L參數式

與平面E究竟是什麼關係呢

已知直線L為x等於t

y等於-1加3t

z等於1加2t

t為實數

與平面E E E

分別為交於一點

直線落在平面上

平行的關係

我們可以觀察看看

當直線L的參數式代入平面E時

得到t的一元一次方程式會有哪些情形

第一種情形直線L與平面E 交於一點

我們知道t是參數

當t在變動時

直線L上的點P會隨著t在直線L上移動

因為直線L與平面E 交於一點

代表直線L上只有一點P

落在平面E 上

我們現在用代數方法來判斷直線L

x等於t

y等於-1加3t

z等於1加2t

t為實數

與平面E

x加y加z等於12的關係

我們直接將直線L上的點P

代入平面E 的方程式中

會得到 t加上括號-1加3t

加括號1加2t等於12

解一元一次方程式得

t等於2

因為此方程式恰有一解

代表直線L和平面E 交於一點

那麼直線L和平面E 的交點坐標為何呢

因為直線L和平面E 的交點

其實就是t等於2時的P點

所以只要將t等於2代回直線L上的點P

即可得到交點坐標為P點

因此直線L和平面E 的關係為

恰交於一點P

因此從前面利用圖形及代數方法來看

可以得到若方程式恰有一組解

表示直線和平面交於一點

接著我們來看第二種情形

直線L落在平面E 上

跟前面的情況一樣

當t在變動時

直線L上的點P

會在直線L上移動

因為直線L落在平面E 上

代表直線L上任意一點P均落在平面E 上

我們現在用代數方法來判斷直線L

x等於t

y等於-1加3t

z等於1加2t

t為實數

與平面E

3x加y減3z等於-4的關係

一樣直接將直線L上的點P

代入平面E 的方程式中

會得到 3t加括號-1加3t

減3乘以括號1加2t等於-4

化簡得到0t等於0

即t可以為任意實數

故方程式有無限多組解

表示直線L上的所有點都會落在平面E 上

也就是直線L在平面E 上

因此從前面利用圖形及代數方法來看

可以得到若方程式無限多組解

表示直線在平面上

最後來看第三種情形

直線L與平E 平行

當t在變動時

直線L上的點P

同樣會在直線L上移動

因為直線L與平面E 平行

代表直線L與平面E 不相交

也就代表直線L上任意一點P

都沒有落在平面E 上

我們現在用代數方法來判斷直線L

x等於t

y等於-1加3t

z等於1加2t

t為實數

與平面E

3x加y減3z等於-6的關係

將直線L上的點P

代入平面E 的方程式中

會得到 3t加括號-1加3t

減3乘以括號1加2t等於-6

化簡得到0t等於-2

即沒有任何實數t滿足式子

故方程式無解

代表直線L上的所有點都不會在平面E 上

也就表示直線L和平面E 平行

因此從前面利用圖形及代數方法來看

可以得到若方程式無解

表示直線與平面平行

判斷給定的直線L與平面E的關係

除了前述的做法外

各位同學也可以想想看

還有沒有其他方法

可以判斷直線L與平面E的關係

歡迎有其他做法的同學

可以在影片下方留言你的做法唷

在今天這支影片中

我們學會了利用代數方法

判斷直線與平面的關係

今天的影片中提供了一種

判斷直線與平面關係的方法

不過其實還有其他的方法

也可以判斷直線與平面的關係

同學們可以利用過去所學

嘗試看看其他方法唷

那我們就下一支影片再見囉 掰掰