觀察下圖長方體

可觀察到空間中相異兩平面

有以下關係

沒有交點

如下圖中的E1與E2平行

以E1平行於E2表示

交於一直線

如下圖中的E1與E3交於L

事實上當兩相異平面

E1'與E2'交於直線L時

以L為界線可以截取如下圖的圖形

此圖形中E1'與E2'的夾角

稱為E1'與E2'的一個兩面角

特別的是

若半平面E1與半平面E2的夾角為直角

稱此兩半平面垂直

記為E1垂直於E2

例如長方體中

任何相鄰的兩面都是互相垂直

如下圖所示

E1 E2 E3這三個面都保持兩兩垂直

也就是E1垂直E2

E1垂直E3

且E2垂直E3

這就是空間坐標系的前導概念喔

空間中的兩面角

空間中不平行兩半平面E與F

E與F亦不重合

L為E與F之交線

點A在E平面上

點B在F平面上

若點C在L平面上

使得線段AC垂直L

線段BC垂直L

定義角ACB為半平面E與半平面F之夾角

稱為兩面角

這個題目是利用生活情境題

介紹空間中兩面角之概念

長方體ABCD-EFGH

其中線段AB等於12

線段BC等於9

線段CG等於8

求平面ADHE與平面BDHF

夾角之正弦值

這個題目是在測試同學

空間中的兩面角之核心概念

因為線段DH為平面ADHE

與平面BDHF的交線

且線段DH垂直於平面EFGH

所以平面EFGH為平面ADHE

與平面BDHF的公垂面

故角EHF為平面ADHE

與平面BDHF所形成的兩面角

由於三角形EFH為直角三角形

且線段EF等於12

線段EH等於線段BC等於9

因此tan角EHF等於

線段EH分之線段EF

等於9分之12

等於3分之4

故sin角EHF等於5分之4

此刻將色紙ABCD

沿著對角線線段AC摺起

連接線段BD並出現線段AC

與線段BD的交點E

線段AB等於10

根據剛才的定義

因為線段BE垂直線段AC

且線段DE垂直線段AC

所以平面ABC與平面ADC之夾角

即為角BED

令角BED等於θ

線段BE等於線段ED等於5根號2

線段BD等於5根號6

根據餘弦定理

cos θ等於2乘以括號5根號2

乘以括號5根號2分之

5根號2的平方加5根號2的平方

減5根號6的平方

等於負2分之1

因此平面ABC與平面ADC之夾角的正弦值

sin θ為2分之根號3

這個題目是利用生活情境題介紹空間中

兩面角之基礎概念

正四面體邊長為10

求其側面三角形與底面三角形

所形成的夾角之正弦值為何

首先取線段BC邊中點E

接著連接線段AE邊與線段DE邊

如下圖所示

這個題目是在測試同學空間中的

兩面角之核心概念

因為線段BC是側面ABC

與底面DBC之交線

又E為正三角形ABC

與正三角形DBC之中點

所以線段AE垂直線段BC

且線段DE垂直線段BC

所以根據兩面角的定義

角AED為側面三角形ABC

與底面三角形DBC之夾角

接著在三角形AED中

線段AE等於5根號3

線段DE等於5根號3

線段AD等於10

cos θ等於2乘以5根號3乘以5根號3

分之5根號3的平方加5根號3的平方

減10的平方

等於150分之50

等於3分之1

sin θ等於3分之2根號2

因此側面三角形與底面三角形

所形成的夾角之正弦值為

3分之2根號2

這個題目是利用生活情境題

介紹空間中兩面角之進階概念

再次提醒各位同學

此題為較複雜之兩面角問題

若一開始不會也別灰心喔

請耐心學習並跟學校老師請教

或跟同學討論喔

課程進行到這邊

我們再來幫同學們做個重點整理

請大家務必認真學習

釐清觀念與認真練習喔

加油