同學試看看

拿一個直角三角板ABC

使其一股線段AB與桌上的紙面垂直

另一股線段BC置於紙面上

如螢幕所示

如果在紙面上過C點畫一直線L

與線段BC垂直

觀察斜邊線段AC是否也會垂直L

這就是下面要討論的三垂線定理

三垂線定理

設直線AB垂直平面E於B點

若在平面E上

直線BC垂直於直線L於C點

則直線AC必垂直L於C點

證明

如右圖

在L上取異於C點的一點D

連線段AD 線段BD

因為角ABC等於角ABD

等於角BCD等於90度

觀察三角形ABD 三角形ABC

和三角形BCD可知

在三角形ABD中

線段AD的平方

等於線段AB的平方

加線段BD的平方

在三角形ABC中

線段AB的平方

等於括號線段AC的平方

減線段BC的平方

在三角形BCD中

線段BD的平方

等於括號線段BC的平方

加線段CD的平方

將兩式代回式中

我們可以得到

線段AD的平方

等於括號線段AC的平方

減線段BC的平方

加上括號線段BC的平方

加線段CD的平方

等於線段AC的平方

加線段CD的平方

於是角ACD等於90度

即直線AC垂直直線L於C點

因應防颱準備需要固定樹木

已知樹木恰位於一邊長為16公尺的

正方形花圃ABCD的中心Q

且垂直生長於地面

若由樹上離地面6公尺處的P點

往正方形花圃的4條邊線上

分別各拉1條等長的繩子

來支撐樹木

如右圖

則這4條繩子應該如何拉設

才能使繩子的所需總長度最短

這個題目是在測試同學

空間中三垂線定理之核心概念

解答

欲使繩子總長度最短

則考慮選取四邊上的點

使點P連接各邊的長度最短

故從Q點對線段AB做垂線QR

交於中點R

由三垂線定理得知

線段PR垂直於線段AB

即點P到線段AB有最小值線段PR

因此四條繩子應由點P

拉至四邊形ABCD各邊中點

則所需繩子的長度最短

故總長度也會最短

因為三角形PQR為直角三角形

所以線段PR等於根號線段PQ的平方

加線段QR的平方

等於根號6平方加8平方

等於10

故四條繩子總長最短為10乘以4

也就是40公尺

這個題目是在測試同學空間中的

三垂線定理之核心概念

這個題目是利用生活情境題介紹

空間中三垂線定理之基礎概念

如下圖A 、B是直線L上兩點

O為L外一點

直線OC垂直於平面OAB於O點

已知線段OA等於線段OB等於10

線段AB等於12

線段OC等於15

則C點到直線L的最短距離為何

解答

取線段AB中點M

則線段OM垂直於線段AB

且線段AM等於6

則線段OM等於根號線段OA的平方

減線段AM的平方

等於根號10平方減6平方等於8

又線段OC垂直於線段OM

由三垂線定理可得知

線段CM垂直於線段AB

故C點到直線L的最短距離為線段CM

線段CM等於根號線段CO的平方

加線段OM的平方

等於根號15平方加8平方

等於17

這個題目是在測試同學空間中的

三垂線定理之基礎概念

再次提醒各位同學

若一開始不會也別灰心喔

請耐心學習並跟學校老師請教

或跟同學討論喔

課程進行到這邊

我們再來幫同學們做個重點整理

設直線AB垂直平面E於B點

若在平面E上

直線BC垂直直線L於C點

則直線AC必垂直L於C點

請大家務必認真學習

釐清觀念與認真練習喔

加油