之前的課程同學已經學會了

二維平面坐標系的相關概念

這個單元就讓我們來介紹

三維空間坐標系

在空間中取一點O作為原點

過原點O作兩兩互相垂直的三條直線

並在這三條直線上

取適當的長度為單位長

接著任選其中二條直線

為x軸與y軸

並訂定其正向

剩下的一條直線稱為z軸

最後採用右手系決定z軸的正向

將右手拇指以外的四指併攏

指向x軸正向

然後往y軸正向握拳

此時拇指所指的方向就是z軸的正向

我們將x軸 y軸與z軸統稱為坐標軸

空間坐標系的任兩個坐標軸

都可以決定一個平面

其中由x軸與y軸所決定的平面

稱為xy平面

由y軸與z軸所決定的平面

稱為yz平面

由z軸與x軸所決定的平面

稱zx為平面

統稱為坐標平面

三坐標平面把空間分成八個部分

每一個部分稱為一個卦限

由三個坐標軸的正向所決定的卦限

稱為第一卦限

其餘卦限則沒有特別編號

根據之前學過的二面角定義

可以得知

xy平面 yz平面與zx平面

兩兩互相垂直

建立空間坐標系之後

我們該如何訂定這個空間中一點P的坐標呢

過P點分別向x軸 y軸 z軸作垂線

垂足投影點分別為A

B

C三點

則P點坐標為

其中分別稱為

P點的x坐標 y坐標 z坐標

而點A B C稱為P點對於

x軸 y軸 z軸的投影點

若我們過P點分別對xy平面

yz平面與zx平面做垂線

交於三個坐標平面上的點為

Q

S

R

稱為P點對於xy平面 yz平面

與zx平面的投影點

若我們繼續延伸射線PA向量

在射線上取線段PA等於線段AD

則稱點D為P點對於x軸的對稱點

若我們延伸射線PQ向量

在射線上取線段PQ等於線段QG

則稱點G為P點對於xy平面的對稱點

同理我們可以找到P點分別對於

三坐標軸及三坐標平面上的對稱點

整理如畫面中的表格所示

當我們訂定空間坐標系之後

就可以利用畢氏定理

計算出任意兩點的距離

設P點 Q點

為空間中兩點

其中x 不等於x

y 不等於y

z 不等於z

過P與Q兩點

分別作與坐標平面平行的平面

則此六個平面構成一個長方體

它的三邊長分別為

線段RS等於x 減x 的絕對值

線段QS等於y 減y 的絕對值

線段PR等於z 減z 的絕對值

因為三角形PQR與三角形RSQ

均為直角三角形

則利用畢氏定理可得

線段PQ等於根號線段QR的平方

加線段PR的平方

等於根號線段RS的平方

加線段QS的平方

再加上線段PR的平方

等於根號括號x 減x 的平方

加括號y 減y 的平方

加括號z 減z 的平方

若x 等於x

或y 等於y

或z 等於z 時

上式仍成立

因此可推得距離公式

空間中P點 Q點

兩點的距離為

PQ線段等於根號括號x 減x 的平方

加括號y 減y 的平方

加括號z 減z 的平方

由題意已知P點在第一卦限

故x y z大於0

可得P點坐標為

三角形三邊長比為7比7比7根號2

等於1比1比根號2

故三角形ABC為等腰直角三角形

本單元介紹了空間坐標系的概念

以及空間中兩點的距離公式

希望同學都能熟悉運用喔