前面的單元已經介紹過

平面向量的加減法與係數積

不禁讓我們聯想到在空間向量中

是否會有類似的概念呢

這個單元就讓我們來探討一下

空間向量的加減法與係數積

加法

a向量等於向量OA

等於

b向量等於向量OB

等於

我們以向量OA 向量OB為鄰邊

作一平行四邊形OACB

則向量OA加向量OB等於向量OC

設C點坐標為

因為向量AC等於向量OB

可以得

等於

則x等於a 加b

y等於a 加b

z等於a 加b

所以向量OA加向量OB等於向量OC

等於

減法

向量a等於向量OA

等於

b向量等於向量OB

等於

我們稱-b向量等於負向量OB

等於向量BO

等於

為b向量或向量OB的反向量

則向量OA減向量OB

等於a向量減b向量

等於a向量加括號-b向量

等於加

等於

係數積

設a向量等於向量OA

等於

r為實數

則ra向量等於r向量OA

等於

整理一下上述概念

設向量OA等於a向量

等於

向量OB等於b向量

等於

為空間中兩向量

r為實數

則加法

向量OA加向量OB

等於a向量加b向量

等於

減法

向量OA減向量OB

等於a向量減b向量

等於

係數積

r倍的向量OA等於r倍的a向量

等於

接下來我們來看以下例子

例題1

已知a向量等於

b向量等於

求下列各式

第1題 2a向量加b向量

第2題 a向量減3b向量

第3題 a向量減3b向量的長度

等於a向量減3b向量的絕對值

解答

第1題 2a向量加b向量

等於2乘以

加

等於加

等於

第2題 a向量減3b向量

等於減3倍的

等於加

等於

第3題 a向量減3b向量的絕對值

等於根號6平方加括號-2的平方加2的平方

等於根號44

等於2根號11

已知a向量 b向量為空間中兩向量

且a向量減2b向量等於

2a向量加3b向量等於

求a向量與b向量

解答

設u向量等於

v向量等於

得到a向量減2b向量等於u向量

為第1式

2a向量加3b向量等於v向量

為第2式

第2式減2倍的第1式

等於7b向量

等於v向量減2u向量

得到b向量等於7分之1

乘以括號v向量減2u向量

得到b向量等於

3倍的第1式加2倍的第2式

得到7a向量

等於3u向量加2v向量

得到a向量等於7分之1

乘以括號3u向量加2v向量

得到a向量等於

設向量OA等於

向量OB等於

且向量OC等於t乘以向量OA加向量OB

求向量OC的絕對值的最小值

解答

向量OC等於t乘以向量OA加向量OB

等於t乘以加

等於

向量OC的絕對值

等於根號括號t加1的平方

加括號-t加2的平方

加括號t加2的平方

等於根號3t平方加2t加9

等於根號3乘以括號t加3分之1的平方

加3分之26

所以當t等於-3分之1時

向量OC的絕對值有最小值

等於根號3分之26

等於3分之根號78

經由這支影片

希望你已經了解空間向量的基本運算