前面的單元已經介紹過

平面向量的線性組合

接下來我們推廣到空間中

因為空間中兩不平行的非零向量

可決定一平面

所以在此平面上

討論它們的線性組合

就與在平面上討論類似

例如 x向量OA加y向量OB

其中x , y為實數的向量

我們將其稱為

向量OA與向量OB的線性組合

因為空間中不共線的三點O , A , B

決定一個平面

所以向量OA與向量OB的任何線性組合

都會落在這個平面上

因此平面上的每一個向量

都可唯一表示成

x向量OA加y向量OB

接下來我們來看以下例子

設向量OA 向量OB

為空間中兩個不平行的非零向量

且令向量OP等於x向量OA加y向量OB

若x大於等於-1小於等於3

y大於等於2小於等於4

則所有P點所形成區域的面積

是向量OA與向量OB決定的

平行四邊形面積之多少倍

解答

當x等於1 , y等於1

亦即向量OP等於向量OA加向量OB時

P點恰為平行四邊形OAQB的頂點Q

當x等於2分之1 , y等於1

向量OP等於2分之1向量OA加向量OB時

P點恰為線段BQ上的R點

且線段BR比線段RQ等於1比1

同理當x大於等於0小於等於1

y等於1時

P點則構成平行四邊形OAQB的一邊

線段BQ

當x等於0 , y等於1時

向量OP等於向量OB

當x等於1 , y等於1時

向量OP等於向量OQ

故x大於等於0小於等於1

y等於1時

向量OP為紅色向量OB移到向量OQ

當x大於等於0小於等於1

y大於等於0小於等於1時

P點所形成的區域

為平行四邊形OAQB所圍成的區域

含邊界

當x大於等於-1小於等於3

y大於等於2小於等於4

P點所形成的區域為平行四邊形OAQB

所圍成區域的8倍

接下來我們由平面向量

推廣到空間向量的分點公式

設O為原點

A點與B點

為空間中相異兩點

點P在線段AB上

且線段AP比線段PB等於m比n

因為OAPB四點共面

所以可由平面向量的分點公式推得

向量OP等於m加n分之n向量OA

加m加n分之m向量OB

用坐標表示可得

等於m加n分之n

加m加n分之m

等於

經由這支影片希望你已經了解

空間向量的線性組合基本概念