各位同學在平面向量單元中

我們曾經學過向量內積的概念

平面上兩非零向量

a向量與b向量的內積

等於兩向量的長度相乘

再乘上其夾角的餘弦值

當a向量或b向量為零向量時

我們定義a向量與b向量的內積為0

向量的內積與相關性質

可以處理求長度與求夾角等問題

並推導出向量的正射影公式與柯西不等式

我們好奇的是

空間中兩向量

該如何定義其內積運算呢

空間向量的內積

是否也有類似的應用呢

因為在空間中

任意兩非零向量

必可平移到同一平面上

所以平面向量的內積定義依然適用

空間中兩非零向量a向量與b向量的內積

同樣等於兩向量的長度相乘

再乘上其夾角的餘弦值

又當a向量或b向量為零向量時

我們定義a向量與b向量的內積為0

前面的單元中

我們學過空間向量的坐標表示法

把空間向量坐標化之後

是否也可推得與平面向量內積類似的公式呢

考慮空間中兩個不平行的非零向量

其中a向量等於OA向量

等於

b向量等於OB向量

等於

且其夾角為θ

這就是空間向量內積的坐標公式

因此我們有以下的結論

若a向量等於

b向量等於

為空間中兩向量

a向量與b向量的內積等於

a 乘b 加a 乘b 加a 乘b

有了空間向量的坐標表示法之後

兩個向量的內積

等於對應分量的乘積之和

如此可以簡便地作向量的內積運算

同時我們也發現

空間向量內積的坐標公式

和平面向量的公式類似

只是多加了z分量乘積這一項

接來下我們來看個例子

利用向量內積的定義

可以推得兩向量求夾角公式

因此我們知道

空間中兩向量夾角的餘弦值

恰等於其內積除以兩向量長度的乘積

當空間向量用坐標表示時

其內積很容易求得

這時我們可以反過來

利用向量內積與向量長度

求得兩向量的夾角

接下來我們練習一個求兩向量夾角的例子

設空間中兩向量

a向量等於

與b向量等於

的夾角為θ

試求θ之值

我們想利用剛剛學到的求向量夾角的公式

先求出a向量與b向量的內積

等於乘1加3乘2加1乘3等於7

再分別求出向量a與向量b的長度

a向量長等於

根號-2的平方加3的平方加1的平方

等於根號14

b向量長等於

根號1的平方加2的平方加3的平方

等於根號14

代入向量求夾角公式可得

cosθ等於2分之1

故θ等於60度

在這個單元中

我們把平面向量內積的定義

推廣到空間向量

兩空間向量的內積等於其長度相乘

再乘上夾角的餘弦值

有了空間向量的坐標表示之後

兩向量的內積

等於對應分量的乘積之和

利用空間向量內積的定義

可以得到兩向量求夾角公式

其中夾角的餘弦值

等於兩向量的內積

除以兩向量長度的乘積

這個問題可以把正立方體置於空間坐標系之中

先寫出B H C E各點的坐標

再利用向量求得cosθ

最後利用計算機就能求出兩對角線的夾角了

各位同學這個單元中

我們介紹了空間向量內積的定義與坐標表示

並介紹如何利用向量來求夾角

下個單元中

我們將繼續利用向量的內積

來探討空間向量的正射影公式

及柯西不等式等應用

請同學要好好熟悉內積的定義與運算喔