各位同學

上個單元中

我們學到了空間向量內積的定義

與坐標表示

接下來將探討空間向量的

正射影公式與相關應用

在平面向量單元中

我們曾經學過向量正射影的概念

設向量a等於向量OA

與向量b等於向量OB

為平面上的兩個非零向量

其夾角為θ

過A點作直線OB的垂線

且垂足為C

則稱OC向量為a向量在b向量上的正射影

這裡需注意

向量的正射影仍為一向量

而當向量a與向量b垂直時

向量a在向量b上的正射影為零向量

在平面向量單元中

曾經推導出向量a在向量b上的正射影公式

設a向量與b向量為平面上的兩個向量

且b向量不等於零向量

則a向量在b向量上的正射影為

因為在空間中

任意兩非零向量

必可平移到同一平面上

且使得始點重合

所以在平面向量證明過的正射影公式

對於空間向量依然適用

空間向量的正射影

設a向量 b向量為空間中的兩個向量

且b向量不等於0

若a向量在b向量上的正射影為c向量

則

這裡需注意

正射影公式的分子是向量a與向量b的內積

而分母則是b向量長度的平方喔

同時空間向量的正射影仍為一向量

而當a向量與b向量垂直時

a向量在b向量上的正射影為零向量

當我們利用正射影公式

求出空間向量的正射影之後

就可以利用求向量長度公式

求出正射影的長度了

接著我們來看個例子

已知空間中兩向量

a向量等於

b向量等於

試求a向量在b向量上的正射影及其長度

利用空間向量的正射影公式可知

a向量在b向量上的正射影為

而正射影的長度則為6

再做一個練習

接著我們來看正射影的應用

利用空間向量的正射影公式

我們可以把一個空間向量

分解成兩個互相垂直的分量

若空間向量

a向量在b向量上的正射影為c向量

則c向量等於

b向量的長度分之

a向量‧b向量

乘以b向量

此時c向量平行b向量

又如圖所示

a向量與c向量之差垂直於b向量

因此a向量可分解成兩個互相垂直的分量之和

即a向量等於

c向量加括號

a向量與c向量之差

其中c向量平行於b向量

且a向量與c向量之差

垂直於b向量

在物理學上經常會對向量做垂直分解

例如

當a向量是作用力

而b向量是位移的方向

則c向量是位移方向的分力

而a向量與c向量之差

則是垂直於位移方向的分力

接著我們來看個例子

已知空間中兩向量

a向量等於

b向量等於

試將a向量表示成

平行b向量與垂直b向量的

兩個向量之和

因為a向量在b向量方向上的正射影為

b向量長度平方分之

a向量‧b向量

乘以b向量

等於9分之6減2加14

乘以

等於

所以平行b向量的向量為

又a向量減掉

括號b向量長度的平方分之

a向量‧b向量

乘以b向量

等於減掉

等於

是垂直b向量的向量

故a向量等於

加上

其中平行b向量

且垂直b向量

再做一個練習

在這個單元中

我們把平面向量的正射影公式

推廣到空間向量

其中正射影公式的分子

是a向量與b向量的內積

而分母則是b向量長度的平方

求出空間向量的正射影之後

再利用向量長度公式

就可以求出正射影的長度

利用空間向量的正射影公式

可以把一個空間向量

分解成兩個互相垂直的分量

即相當於把a向量分解成

平行於b向量

與垂直於b向量的兩個向量

已知空間中三點

A

B

C

且B點在AC直線上的投影點為D

如圖所示

求

第一題 D點的坐標

第二題 B點到直線AC的距離

這個問題

可以利用向量的正射影公式

先把向量AB分解成

平行於向量AC的向量AD

以及垂直於向量AC的向量DB

接著利用向量AD就能求出D點的坐標

而向量DB的長度即為

B點到直線AC的距離

答案為第一題

D點的坐標為

第二題 B點到直線AC的距離為3

各位同學

這個單元中

我們介紹了空間向量的正射影公式

以及如何把一個空間向量

分解成兩個互相垂直的分量

下個單元中

我們將繼續利用向量內積的概念

探討柯西不等式以及相關應用