古代利用石磨將米 麥等糧食加工成粉

石磨是由兩塊大小相同的圓柱形石塊

與一根橫桿所構成

當橫桿被推動時

上方石塊就會旋轉並將穀物輾壓成粉

我們用示意圖來解釋

石磨運轉的原理

推動石磨的人對橫桿施力如綠色的箭頭

這個施力會使得上方的石磨繞著轉軸旋轉

像這樣的物體受力後

繞著轉軸轉動的物理量

我們稱作力矩

力矩與作用力F向量

和從轉軸到施力點的位移r向量有關

當作用力F向量相反時

轉動的方向也會相反

像這個推石磨的人

如果反過來推的話

石磨從本來的逆時針轉動

就會變成順時針轉動喔

由此可見

力矩不僅是轉動物體力量的大小

還帶有方向性

也就是說

力矩是由方向與大小所構成的

這表示力矩是一個向量

既然力矩是一個向量

我們就要去定義它的大小與方向

首先我們先介紹力矩的方向

力矩的方向與物體旋轉的轉軸同方向

但是這個圖中

與轉軸方向相同的

有向上和向下兩種方向

到底是哪一種呢

一般而言

力矩的方向可以用右手法則來決定

我們將右手拇指以外的四指

依照旋轉的方向彎捲

把大拇指伸直與旋轉的轉軸平行

則大拇指所指的方向就是力矩的方向

依照右手法則我們就可以知道

這張圖中轉動石磨力矩的方向是向上的

再來我們介紹力矩的大小

國中學過

力矩的大小等於力臂乘以施力的大小

其中力臂就是

轉軸到與施力平行的線之垂直距離

先看這個推動石磨的例子

圖中的綠色虛線

就是與施力平行的線

因為施力的方向與橫桿垂直

所以這張圖的力臂

恰好等於r向量的長度

因此這張圖力矩的大小

就是施力點到轉軸的距離

乘上施力的大小

也就是說當施力的方向

垂直推動石磨的橫桿的時候

力矩的大小就是r向量的長度

乘上F向量的大小

剛剛是施力的方向與橫桿垂直的情況

那麼當施力的方向跟橫桿不垂直時

力矩的大小要怎麼算呢

一般來說

當施力方向平行橫桿時

這時候石磨是無法被推動的

所以力矩的大小

只會跟垂直橫桿的施力大小有關

也就是說當施力的方向

沒有垂直推動石磨的橫桿時

我們只要找出施力中垂直橫桿的分力就可以囉

首先我們將施力分成與橫桿平行

跟與橫桿垂直的兩個分力

接著利用高一學過的三角比

可以得到垂直橫桿的施力大小

等於F向量的大小乘以sin α

最後我們將施力的向量F向量

平移到與r向量的起點重合

並設F向量與r向量的夾角為θ

因為θ加α等於180度

所以sin α等於sin 180度減θ

再利用高一學過的

廣義三角比換算公式

可以得到sin 180度減θ等於sin θ

因此這張圖力矩的大小

就是r向量的長度乘上F向量的大小

再乘上sin θ

整理一下剛剛的內容

力矩是一個向量

它的方向由右手法則決定

它的大小為r向量的長度

乘上施力F向量的大小

再乘上兩個向量夾角θ的sin值

從數學的角度來看力矩的話

我們將上述這樣的運算關係

稱為r向量與F向量的外積

記作r向量 cross F向量

也就是說

數學上向量外積的方向

也會遵循右手法則

一般而言

如果要求a向量外積b向量的方向

我們先將右手拇指以外的四指併攏

指向a向量的方向

然後將b向量的方向彎捲

並將大拇指伸直

此時大拇指所指的方向

就是a向量外積b向量的方向

來練習一下右手法則

第一題要畫a向量外積b向量的方向

我們先將右手拇指以外的四指併攏

指向a向量的方向

然後向b向量的方向彎捲

並將大拇指伸直

此時大拇指所指的方向

就是a向量外積b向量的方向

也就是朝向z軸的正向

第二題要畫b向量外積a向量的方向

我們先將右手拇指以外的四指併攏

指向b向量的方向

然後向a向量的方向彎捲

並將大拇指伸直

此時大拇指所指的方向

就是b向量外積a向量的方向

也就是朝向z軸的負向

剛剛提到力矩的大小

為r向量的長度乘上施力F向量的大小

再乘上兩個向量夾角θ的sin值

如同力矩的大小

在數學上兩個向量外積的長度

也會等於兩個向量的長度相乘後

再乘上兩個向量夾角θ的sin值

也就是說

a向量外積b向量的長度

會等於a向量的長度乘以b向量的長度

再乘上兩個向量夾角θ的sin值

接著我們來練習一道求外積長度的題目

在空間中兩個向量a向量與b向量的外積是一個向量

其方向遵守右手法則

其長度等於a向量的長度乘上b向量的長度

再乘上兩個向量夾角θ的sin值

這個影片從物理上的力矩

引入數學上空間向量的外積

我們知道了外積是一個向量

具有方向與大小

之後我們會再透過先前學過的空間向量坐標

來計算外積的向量

並介紹空間向量外積的各種性質喔