在引入空間向量的外積這支影片中 我們介紹了空間向量的外積 在空間中a向量與b向量的外積 a向量cos b向量是一個向量 它的方向遵循右手法則 會與a向量和b向量垂直 它的大小等於a向量的長度 乘上b向量的長度 再乘上兩個向量夾角θ 而之前我們也學過a向量與b向量 所決定的平行四邊形之面積為 向量a的長度乘上向量b的長度 乘上sin θ 因此兩個向量外積的大小 就是兩個向量所張開平行四邊形的面積 接著我們要在這樣的定義之下 將空間向量的外積坐標化 設a向量等於 b向量等於 為空間中始點在的兩個向量 且a b 都大於0 我們先把a向量與b向量投影到x y平面上 分別得到與 設a向量cross b向量等於 將它投影到z軸得到向量為 而向量就是向量 外積向量 利用外積的定義可以得到 向量的長度z 等於向量 與向量 所張開平行四邊形的面積 而向量與向量 都在x y平面上 所以它們所張開的平行四邊形面積 我們也可以把它想成 以前學過在平面上 求兩向量所張開的平行四邊形面積 也就是a a b b 因此可以得到 z等於a a b b 再利用相同的方法 把a向量 b向量投影到y z平面上 與x z平面上 就可以分別得到 x等於a a b b y等於a a b b 我們整理一下剛剛的討論 設a向量等於 b向量等於 為空間中的兩個向量 則a向量外積b向量為 a a b b a a b b a a b b 另外當a向量或b向量其中一個是0向量 或是a向量與b向量平行 則a向量外積b向量會是0向量 這個式子依然成立 這個公式看起來不太好記 我們可以利用圖來輔助 先將a向量等於a a a b向量等於b b b 各寫兩次 再將左右兩行去掉 a向量外積b向量的x分量就是 a a b b y分量就是a a b b z分量就是a a b b 我們來練習一個例子 已知a向量等於 b向量等於 求a向量外積b向量 與b向量外積a向量 先將2 1 0 0 1 2各寫兩次 再將左右兩行去掉 得到a向量外積b向量為 1 0 1 2 0 2 2 0 2 1 0 1 將行列式算出來得到向量 要求b向量外積a向量 必須把0 1 2寫上面 2 1 0寫下面 各寫兩次 再將左右兩行去掉 得到b向量外積a向量為 1 2 1 0 2 0 0 2 0 1 2 1 將行列式算出來得到向量 最後得到 a向量外積b向量等於 b向量外積a向量等於 由這個例子我們發現 a向量外積b向量 與b向量外積a向量 是大小相等 方向相反的兩個向量 即a向量外積b向量 等於負的b向量外積a向量 也就是說a向量外積b向量 與b向量外積a向量並不相等哦 前面定義提到兩個向量外積的大小 就是這兩個向量所張開平行四邊形的面積 我們可以用這個觀念 來求空間中三角形的面積 怎麼做呢 我們用一個例子來說明 設空間中三點 A等於 B等於 C等於 如果想求三角形ABC的面積 我們先求出向量AB等於 向量AC等於 並求出向量AB外積向量AC 等於向量 接著向量AB外積向量AC的長度 等於根號-8的平方 加上6的平方 加上0的平方 算出來等於10 因為向量AB與向量AC 所張開的平行四邊形面積 等於向量AB外積向量AC的長度 所以這個10就是向量AB與向量AC 所張開的平行四邊形面積 最後可以得到三角形ABC的面積 就是平行四邊形面積的一半 也就是5 我們已經知道利用外積 可以求空間中三角形的面積 那麼有了三角形的面積後 可以求出空間中C點到直線AB的距離嗎 在空間中兩個向量 a向量與b向量的外積 a向量cross b向量是一個向量 它的方向遵守右手法則 它的大小等於a向量的長度 乘上b向量的長度 再乘上兩個向量夾角θ的sin值 同時兩個向量外積的大小 也會等於這兩個向量 所張開平行四邊形的面積 如果a向量等於 b向量等於 為空間中的兩個向量 那麼a向量外積b向量為 a a b b a a b b a a b b 這支影片我們利用了空間向量的定義 求得a向量與b向量的外積 a向量cos b向量之後 會再探討空間向量外積的基本性質 各位同學繼續加油哦