我們先來複習一下 之前影片提過外積的定義 在空間中兩個向量 a向量與b向量的外積 a向量cross b向量是一個向量 它會與a向量 b向量垂直 利用右手法則我們可以找到它的方向 它的大小等於a向量的長度 乘上b向量的長度 再乘上兩個向量夾角θ的sin值 同時兩個向量外積的大小 也會等於這兩個向量 所張開平行四邊形的面積 後來我們將外積的定義坐標化 設a向量等於 b向量等於 為空間中的兩個向量 得到a向量外積b向量的公式為 a a b b 接著我們來驗證這個公式 是符合外積定義的 也就是說這個公式得到的向量 會垂直a向量與b向量 而且它的長度等於 a向量的長度乘上b向量的長度 乘上sin θ 設a向量等於 b向量等於 我們先驗證垂直的部分 如果我們想確認這個向量 有沒有跟a向量垂直 我們可以把它跟a向量去做內積 也就是 接著我們把向量裡的行列式都展開 得到 再用向量內積的公式展開得到 最後把相同的項合併後得到0 因此這個公式得到的向量會垂直a向量 同樣的方法可以得到 這個向量出來的公式也會垂直b向量 同學可以暫停影片 自行推導看看喔 再來我們驗證長度的部分 這個公式得到的向量長度 會等於a向量的長度 乘上b向量的長度 再乘上兩個向量夾角θ的sin值 也就是a向量與b向量 所張開平行四邊形的面積 我們先用平方和公式 sin平方θ加cos平方θ等於1 把sin θ轉換成根號1減cos平方θ 接著把a向量的長度 乘上b向量的長度 乘進根號裡面 得到根號a向量長度的平方 乘b向量長度的平方 減掉a向量長度的平方 乘上b向量長度的平方 乘上cos平方θ 而裡面的a向量長度平方 乘上b向量長度平方 乘上cos平方θ 就是a向量與b向量內積的平方 再來把a向量等於 b向量等於代進式子裡 得到 經過展開並且整理後 這個式子也可以化成 這裡同學可以暫停影片 花點時間展開整理看看 最後的這個式子 就是根號 也就是向量 a a b b a a b b 的長度啦 接著我們利用這個外積的公式 推導以下幾個外積的性質 1.向量a自己外積自己會得到零向量 2.非零向量a向量與零向量外積 會得到零向量 3.外積沒有交換律 而是a向量cross b向量 等於負的b向量cross a向量 若兩個非零向量a向量 b向量互相平行 則a向量cross b向量會是零向量 性質 設a向量等於 則a向量cross a向量等於零向量 利用外積的公式可以得到 a向量cross a向量等於 a a a a 再把行列式展開就可以得到 這個向量的三個分量都是0 因此a向量cross a向量等於 等於零向量 仿照剛剛推導性質的方法 請同學自行推導性質 再來我們來推導性質 外積沒有交換律 設a向量等於 b向量等於 都是非零向量 則a向量cross b向量 等於負b向量cross a向量 利用外積的公式可以得到 a向量cross b向量等於 a a b b b向量cross a向量等於 b b a a 又因為行列式的兩列對調 其值變號 所以b b a a 等於負的a a b b b b a a 等於負的a a b b b b a a 等於負的a a b b 把負號提出來就可以得到 b向量cross a向量 等於負的a向量cross b向量 因此可得 a向量cross b向量 等於負的b向量cross a向量 仿照剛剛推導性質的方法 請同學自行推導性質 小提示 行列式的兩列成比例 其值為0 最後我們來整理一下這個影片的結論 利用這個外積公式 可以得到以下幾個外積的性質 向量自己外積自己會得到零向量 非零向量a向量與零向量外積 會得到零向量 外積沒有交換律 而是a向量cross b向量 等於負的b向量cross a向量 若兩個非零向量a向量 b向量互相平行 則a向量cross b向量會是零向量 學會了空間向量的外積之後 我們可以利用空間向量的外積 求得空間中平行六面體的體積 也可以討論空間中的平面方程式 各位同學繼續加油哦