設a向量 b向量 c向量

為空間中三個非零向量

我們將三個向量的始點

平移到同一點

如果這時候這三個向量的終點

也跟始點在同一個平面上的話

就稱這三個向量共平面

如果這三個向量的終點與它們的始點

不在同一個平面上的話

就稱這三個向量不共平面

這時候這三個向量會形成一個平行六面體

我們稱此平行六面體為

由a向量 b向量 c向量

所張成的平行六面體

可以將它想像成

由b向量與c向量所展開的

平行四邊形形成底面

再沿著a向量平移而形成的柱體

平行六面體有六個面

每個面都是平行四邊形

我們熟悉的長方體與正方體

都是屬於平行六面體

那要怎麼求平行六面體的體積呢

這個就跟之前影片講過的外積有關

我們先來複習之前學過的外積吧

剛剛提到

我們熟悉的長方體是平行六面體的一種

而我們以前學過

長方體的體積公式為

底面積再乘以高

其中底面積也就是底部長方形的面積

這裡的高是上下兩個長方形的距離

事實上所有的柱體體積公式

都是底面積乘以高

而高是指兩個底面的距離

同樣的道理

平行六面體是以平行四邊形為底面的柱體

它的體積也是底面積乘以高

這張圖中的底面積

就是b向量與c向量所張的平行四邊形面積

由之前學過的向量外積可以知道

這個平行四邊形的面積

就等於b向量與c向量的外積的長度

也就是說底面積就是

b向量與c向量外積的長度

來複習一下用外積求平行四邊形的面積吧

會求平行六面體的底面積後

接著我們來看平行六面體的高

這裡我們設平行六面體的高為h

平行六面體的高h

就是上下兩個平行平面的距離

也就是說

這個高會垂直平行六面體的底面

我們之前也學過b向量與c向量

外積所得到的向量

與b向量 c向量都垂直

這時候我們設a向量

與b向量cross c向量的夾角為θ

現在這個圖形是θ為銳角的情況

如果θ為鈍角的話

平行六面體會長這樣

接下來為了方便說明起見

我們以θ為銳角的圖形來解釋

這個平行六面體的a向量

與b向量cross c向量的夾角為θ

其中θ為銳角

這時利用高一學過的三角比就可以得到

高h等於a向量的長度乘上cos θ

因此平行六面體的體積公式

從原本的b向量與c向量的外積的長度乘上h

可以化為b向量與c向量外積的長度

乘上a向量的長度再乘以cos θ

又因為兩個向量長度相乘

再乘上夾角的餘弦值

就是兩個向量的內積

所以我們可以將平行六面體的體積公式

化為a向量和b向量cross c向量

這個向量內積的絕對值

這裡為了方便說明起見

所以圖形以θ為銳角來解釋

事實上當θ為鈍角時

平行六面體的體積一樣是

a向量和b向量cross c向量

這個向量內積的絕對值

同理上述求體積的過程

如果拿c向量 a向量所張的平行四邊形當底面

可以得到公式為

b向量‧c向量cross a向量的絕對值

如果拿a向量 b向量所張的平行四邊形當底面

可以得到公式為

c向量‧a向量cross b向量的絕對值

我們來練習一下這個公式

利用平行六面體的體積公式

可以得知體積為

a向量‧b向量cross c向量的絕對值

先求b向量cross c向量

也就是外積

得到

此時a向量‧b向量cross c向量

可以化成內積

得到這兩個向量的內積等於-3

最後-3取絕對值等於3

所以這個平行六面體的體積為3

在空間中由三個不共平面的非零向量

a向量 b向量 c向量

所張成的平行六面體之體積

等於a向量‧b向量cross c向量的絕對值

也就是先將b向量和c向量做外積

再與a向量做內積

最後再取絕對值

這個單元我們利用

綜合應用向量的內積和外積

來求三個向量所張成的

平行六面體體積

之後我們會再介紹平行六面體體積

也可以表示成行列式的樣子

大家繼續加油哦