之前的影片我們介紹到利用 向量的內積與外積 可以來求三個向量所張成的 平行六面體體積 事實上三個向量所張成的 平行六面體體積 也可以用三階行列式來表示並求得 首先我們先復習一下二階行列式 二階行列式a a b b 的值為 a b 減b a 且向量a向量等於 與b向量等於 所張成的平行四邊形面積 為二階行列式a a b b 的絕對值 特別注意一下 行列式的值可能是正的或是負的 但是面積一定是正的 所以要加絕對值後才是面積哦 來練習一下二階行列式的題目吧 二階行列式a a b b 中 直的我們稱做行 從左到右分別是第一行 第二行 橫的我們稱做列 從上到下分別是第一列 第二列 接下來我們就來介紹三階行列式 二階行列式有兩行兩列 那麼依此概念推廣到三行三列 將行列式a a a b b b c c c 稱為三階行列式 與二階行列式相同 直的我們稱做行 從左到右分別是第一行 第二行 第三行 橫的我們稱做列 從上到下分別是第一列 第二列 第三列 它的算法是這樣的 這裡再提供另一種記法 可以先把三階行列式的 第一行與第二行再寫一次 這個三階行列式的值 就是三條藍色線上的數字相乘 加起來之後 減去三條紅色線上的數字相乘 我們用實際的例子來練習一下 求行列式1 2 3 4 5 6 7 8 9的值 先把第一行與第二行再寫一次 接著1乘以5乘以9 得到45 加上2乘以6乘以7 得到84 加上3乘以4乘以8 得到96 再減去3乘以5乘以7 得到105 再減去1乘以6乘以8 得到48 再減去2乘以4乘以9 得到72 最後計算完畢得到0 大家自己可以練習一下哦 同學可能會覺得三階行列式的公式 不如二階行列式簡單易記 事實上將三階行列式的公式整理一下 也可以轉換成三個二階行列式運算哦 首先將這兩項提出a 得到a 乘以括號b c 減b c 再將這兩項提出-b 得到-b 乘上括號a c 減a c 然後把這兩項提出c 得到c 乘上括號a b 減a b 最後將b c 減b c 表示成二階行列式b b c c 將a c 減a c 表示成二階行列式a a c c 將a b 減a b 表示成二階行列式a a b b 如此一來三階行列式就轉成 三個二階行列式了 像這樣三階行列式轉成二階行列式的過程 我們稱它為降階 這樣的轉換看起來有些複雜 我們可以用畫圖的方式來協助理解 a 乘上的二階行列式 就是把a 所在的行與列劃掉 再把剩下的4個數按原來的位置關係 組成的二階行列式 b 乘上的二階行列式 就是把b 所在的行與列劃掉 再把剩下的4個數 按原來的位置關係 組成的二階行列式 c 乘上的二階行列式 就是把c 所在的行與列劃掉 再把剩下的4個數 按原來的位置關係 組成的二階行列式 因為三個二階行列式的係數a b c 原本是三階行列式的第一行 所以我們說這個三階行列式 是依照第一行去降階展開成二階行列式 這些係數前的四則運算有正有負 事實上它會符合像這張圖 加減相間隔的規律 利用相同的方法也可以依照 其他行或列進行展開 如果三階行列式依第二行進行降階展開 係數就會是-a +b 與-c -a 所乘上的行列式為 行列式b b c c +b 所乘上的行列式為 行列式a a c c -c 所乘上的行列式為 行列式a a b b 這麼一來就可以利用任意一行去降階了 用同樣的方法 也可以利用任意一列 去降階展開三階行列式 接下來我們來練習一個例子 求行列式2022 2021 1 2008 2007 1 1 0 0的值 因為我們觀察到第三列1 0 0 是比較簡單的數值 所以依第三列進行降階展開 可以得到行列式2022 2021 1 2008 2007 1 1 0 0 等於1乘以行列式2021 1 2007 1 減掉0乘以行列式2022 1 2008 1 加上0乘以行列式2022 2021 2008 2007 化簡得到1乘以行列式2021 1 2007 1 算出來得到2021減去2007等於14 本單元介紹了三階行列式的兩種算法 我們可以用直接展開的方式 也可以用降階的方式 之後我們會再介紹三階行列式 也有一些好用的性質 可以幫助我們化簡計算哦 大家繼續加油吧