之前的影片我們介紹到

三階行列式的定義

及求值的兩種方法

直接展開與降階

我們先來複習一下

求三階行列式的值吧

本單元主要介紹三階行列式的性質

之前我們介紹二階行列式的性質

而這些性質推廣到三階行列式依然成立

我們就逐一來看看吧

第一個性質

行列互換其值不變

在二階行列式中

將行與列互換它的答案不會改變

也就是說

行列式a b c d

等於行列式a c b d

三階行列式也是一樣

將行與列互換它的答案不會改變

也就是說

行列式a b c d e f g h i

等於行列式a d g b e h c f i

第二個性質

兩行或兩列對調其值變號

如果二階行列式左右兩行對調

它的值會差一個負號

也就是說

行列式a b c d

等於負的行列式b a d c

同樣地上下兩列對調也會差一個負號

行列式a b c d

等於負的行列式c d a b

而這個性質推廣到三階行列式仍然成立

不過特別注意的是

只要其中兩行或兩列對調

就會差一個負號哦

例如第一第二行對調可以得到

行列式a b c d e f g h i

等於負的行列式b a c e d f h g i

或是第二第三列對調可以得到

行列式a b c d e f g h i

等於負的行列式a b c g h i d e f

第三個性質

任一行或一列可以提出公因數

例如二階行列式第一行的ka與kc

我們可以把k提出來

或是第二列的kc與kd

我們可以把k提出來

三階行列式也是如此

例如第二行的kb ke與kh

我們可以把k提出來

是第三列的kg kh與ki

我們可以把k提出來

第四個性質

兩行或兩列成比例的話其值為0

例如二階行列式的第一行和第二行成k倍

它展開算出來就會是0

或是第一列和第二列成k倍

算出來答案也會是0

在三階行列式中

其中兩行或是兩列成比例的話

展開求得的行列式就會是0

例如第二 三行成比例

或是第一 三列成比例

算出來答案都會是0

第五個性質

將一行或一列乘上k倍後

加到另一行或一列其值不變

例如在二階行列式中

將第一行的a c

分別乘上k倍後加到第二行

答案還是會一樣

或是將第一列的a b

分別乘上k倍後加到第二列

答案也是不變

三階行列式也是如此

例如將第三行的c f i

分別乘上k倍後加到第二行

答案也還是一樣的哦

第六個性質

可依據某一行或是某一列

將一個行列式拆成兩個行列式相加

例如二階行列式依據第一行進行拆開

可以得到行列式a+e b c+f d

等於行列式a b c d

加上行列式e b f d

或是依據將第一列進行拆開可以得到

行列式a+e b+f c d

等於行列式a b c d

加行列式e f c d

在三階行列式中

我們可以像這樣依據第三行拆開

得到行列式a b c+x

d e f+y

g h i+z

等於行列式a b c d e f g h i

加上行列式a b x d e y g h z

介紹完以上六個性質後

我們來看一個例子

求行列式1 1 2 2021 2022 4044

111 111 225的值

像這樣三階行列式裡面

數值很大的時候

直接展開就會比較不容易操作

這個時候我們可以利用行列式的性質

將某一行或某一列

化成最少出現兩個0

這樣就可以簡化三階行列式的計算

首先將第一列乘上負的2021倍加到第二列去

得到行列式1 1 2 0 1 2 111 111 225

接著將第一列乘上負的111倍

加到第三列去

得到行列式1 1 2 0 1 2 0 0 3

最後因為第一行的三個元素為1 0 0

所以我們利用降階可以得到

1乘上行列式1 2 0 3

進而得到答案為3

像這樣先利用行列式的性質

先將某一行或某一列

化成其中兩個元素有0

再利用降階來化簡三階行列式

這時候求三階行列式的值就只需要

計算一個二階行列式了呢

這就是學習行列式性質的重點囉

本影片介紹了三階行列式的六個性質

而這些性質的證明都不難

同學可以直接展開

或選擇適當的行或列

進行降階成二階行列式

又因為二階行列式都有這六個性質

因此三階行列式也都有這六個性質哦

我們以性質五為例

先依據第一行進行降階

再利用二階行列式的性質五進行化簡

最後再反向使用降階的概念

還原成三階行列式

就可以證明完畢囉

大家動手試試看吧

本影片介紹了三階行列式的六個性質

分別是

本影片介紹了三階行列式的六個性質

學會了這些三階行列式的性質之後

下一支影片會再介紹三階行列式相關的應用

大家繼續加油哦