本影片的主題是三階行列式的應用 主要是介紹如何運用三階行列式 來求空間中平行六面體的體積 在這個影片中 我們會綜合幾個之前學過的重點 第一個是空間中三個向量 所張成的平行六面體之體積 第二個是三階行列式的降階 第三個是行列式的性質 讓我們先來回顧一下 上述三個重點 再進而做綜合應用 第一個重點為空間中三個向量 所張成的平行六面體之體積 在空間中由三個向量 a向量 、b向量 、c向量 所張成的平行六面體之體積為 a向量‧括號b向量cross c向量的絕對值 也就是先將b向量和c向量做外積 再與a向量做內積 最後再取絕對值 第二個重點為三階行列式的降階 行列式a a a b b b c c c 如果依照第一列去降階的話 三個二階行列式的係數會是 a a a 係數前的四則運算會是 正 負 正 而a 乘上的二階行列式為 b b c c a 乘上的二階行列式就是 b b c c a 乘上的二階行列式就是 b b c c 這就是三階行列式的降階 第三個會運用到的是行列式的性質 我們這裡會用到的是 行列式的兩行或兩列對調 其值變號 例如二階行列式a b c d的第一行 a c與第二行b d對調後 值會差一個負號 接下來我們進一步來看 平行六面體的體積公式 與三階行列式的關係 在空間中三個不共平面的向量 a向量等於 b向量等於 c向量等於 所張成的平行六面體之體積為 a向量‧括號b向量cross c向量的絕對值 我們先算b向量cross c向量 先將b向量等於b b b c向量等於c c c 各寫兩次 再將左右兩行去掉 因此得到b向量cross c向量 等於行列式b b c c 行列式b b c c 行列式b b c c 接著再來看 a向量‧括號b向量cross c向量的絕對值 我們先算絕對值裡面的 a向量‧括號b向量cross c向量 它會等於 展開得到 接著我們把中間行列式的兩行互換 因此係數會變成減a 這時候發現最後這個式子 就是三階行列式 a a a b b b c c c 的降階 也就是說 最後補上絕對值後 我們得到三個向量 a向量等於 b向量等於 c向量等於 所張開的平行六面體之體積 就是把這三個向量放至三階行列式後 再加上絕對值 反過來說 三階行列式 a a a b b b c c c 取絕對值的幾何意義 就是三個向量 a a a b b b c c c 所張開的平行六面體之體積 來練習一下使用三階行列式 求平行六面體的體積 求空間中三向量 a向量等於 b向量等於 c向量等於 所張成的平行六面體體積 利用三階行列式可以得到 a向量 、b向量 、c向量 所張成的平行六面體體積為 行列式1 2 3 3 2 1 2 1 3 的絕對值 接著直接將這三階行列式展開 得到6加9加4減12減1減18 的絕對值 化簡得到負12的絕對值 算出來結果為12 因此a向量等於 b向量等於 c向量等於 所張成的平行六面體體積為12 三階行列式除了可以表示 平行六面體的體積之外 還可以用來判斷 三個向量是否共平面 設a向量 、b向量 、c向量 為空間中三個非零向量 我們將三個向量的始點 平移到同一點 如果這時候這三個向量的終點 也跟始點在同一個平面上的話 就稱這三個向量共平面 此時a向量 、b向量 、c向量 無法張成平行六面體 也就是說a向量 、b向量 、c向量 所張成的平行六面體 體積為0 如果a向量等於 b向量等於 c向量等於 那麼體積等於0就表示 行列式a a a b b b c c c 等於0 最後來統整一下本影片的重點 空間中三個向量 a向量等於 b向量等於 c向量等於 所張開的平行六面體之體積 就是把這三個向量 放至三階行列式後 再加上絕對值 反過來說三階行列式 a a a b b b c c c 取絕對值的幾何意義 就是三個向量 a a a b b b c c c 所張開的平行六面體之體積 再進一步延伸 若三個向量 a向量等於 b向量等於 c向量等於 共平面的話 表示它們所張開的平行六面體之體積為零 也就是三階行列式 a a a b b b c c c 等於零 本單元綜合了之前學過的 空間中三向量所張的 平行六面體之體積 與三階行列式的運算 與三階行列式的性質 內容比較多 如果之前這些部分比較不熟悉的話 建議可以再去把之前的影片找出來 多複習幾次哦