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這些都是大家耳熟能詳的球類運動

這些球的形狀

看起來是不是有相同的特徵呢

本支影片會介紹球面的定義

球面與平面的關係

大圓和小圓的意義

以及球面距離的意義

概念1 球面的定義

觀察了這麼多種球後

我們要明確定義何謂球面

球面的定義

空間中與一定點O等距離r的所有點

所形成的圖形稱為球面

其中O稱為球心

r稱為球半徑

概念2 球面與平面的關係

若一平面E割過球面S

那麼平面在球面上的截痕會是什麼圖形呢

從球心O作一垂直平面E的線段

交平面E於點A

對於截痕上任意一點Q

由畢氏定理可知

QA線段等於根號OQ線段的平方

減OA線段的平方

等於根號r平方

減OA線段的平方

因為球半徑r和OA線段皆為定值

所以QA線段為定值

既然截痕上任意一點Q

到點A的距離皆相同

根據圓的定義

我們可以知道截痕是以A為圓心

半徑長等於根號r平方

減OA線段平方的圓

談論完平面在球面割出的截痕後

思考一下球面和平面的相交情形

可以分為哪幾種呢

空間中球面S與平面E的關係有三種

1.球面S與平面E不相交

2.球面S與平面E交於一點

交點是球心O在平面E上的投影點

3.球面S與平面E交於一圓

其圓心是球心O在平面E上的投影點

概念3 大圓和小圓的意義

上一個概念提到平面在球面上的截痕是圓

而我們將其分為

大圓和小圓兩類

若平面通過球心

其截痕稱為大圓

是平面在球面上截出的圓當中

半徑最大的

其半徑等於球的半徑

若平面未通過球心

其截痕稱為小圓

點C和點D分別為球面上相異兩點

若要沿著球面從點C走到點D

何種路徑距離最短呢

直覺上來說

走波浪形彎彎曲曲的路

會比走圓弧來得更長

因此最短距離我們姑且相信是圓弧狀

但是通過點C和點D的圓弧有無限多條

究竟哪一條才是最短的呢

將所有的圓弧拉回同一平面來觀察

點C和點D因為是定點

所以這兩點的相對位置不變

接著來看過這兩點的圓

會發現越大的圓通過這兩點的劣弧長度越短

在球面上的圓當中

大圓是最大的

因此球面上點C和點D的最短路徑

就是通過C D兩點的大圓

在這兩點間的劣弧長

我們把這一段長稱為C D兩點的球面距離

以上僅以直觀的方式說明球面上

點C和點D的最短路徑

就是通過C D兩點的大圓

在這兩點間的劣弧長

至於最嚴謹的證明方式

已經超出高中探討範圍

必須在大學的微分幾何學才會詳細探討

有興趣的同學可以自行研究

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