回顧坐標平面上的直線

可以透過直線斜角的正切值

即直線的斜率

來描述直線的傾斜程度與方向

兩直線斜角不同

則代表兩直線有不同的傾斜程度與方向

兩相異直線斜角相同

則代表兩相異直線會平行

在空間坐標中

可以利用平面與座標軸的夾角

描述平面的方向嗎

從以下的動畫可以得知

雖然平面E1與E2與x軸的夾角相同

但是它們是相交於z軸的相異平面

因此它們的方向並不一致

因此用直線斜率的想法是行不通的

接下來我們觀察兩個方向不同的相異平面

根據空間概念的討論

這兩個平面相交於一直線

我們可以分別對這兩個平面做垂線

使得這兩條垂線相交於一點

因此這兩條垂線的方向不相同

即相交於一直線的兩平面

它們的垂線都不會平行

另一方面我們可以觀察圖形

可以得知

垂直於一直線的平面都會平行

平行平面的相異垂線都會平行

根據前面的討論

可以得知兩個方向不同的平面

它們的垂線方向也不相同

而方向相同的平面

像是兩平行平面

它們會有相同方向的垂線

因此我們可以利用垂線的方向

來描述平面的方向

根據前面的討論

空間中的平面可以用它的垂線的方向

來描述平面的方向

接下來我們定義平面的法向量

來實踐這個想法

設直線L為平面E的垂線

L又稱為平面E的法線

在L上任取兩相異點

它們所形成的向量可以用來描述

平面E的方向

我們定義此向量為平面E的法向量

舉例來說明

空間坐標中

z軸為xy平面的法線

在z軸上取O點

A點

B點

這些點形成的向量 OA向量等於

OB向量等於

AB向量等於

都是xy平面的法向量

因此xy平面的法向量有無限多個

由於在z軸上的任意兩相異點所形成的向量

都會互相平行

因此我們只要找到一個法向量 n向量

與n向量平行的向量tn向量

都是xy平面的法向量

接下來根據平面法向量的定義

我們來探討法向量的性質

性質一

若n向量為平面E的法向量

則kn向量 k不等於0

都是該平面的法向量

性質二

在平面E上任取相異兩點所形成的向量

垂直於該平面的法向量

我們來說明性質二

設平面E上任取相異兩點A B

因為過A可以作一條E的法線L

所以L垂直AB直線

故L上取相異兩點

形成的法向量n向量會垂直AB向量

而因為平面E的法向量都與n向量平行

因此AB向量會垂直平面E的任何一個法向量

我們將前面討論的結果整理如下