前部影片介紹了平面法向量的定義性質 這部影片我們會介紹 如何用法向量求得平面的方程式 我們先從一個實例談起 設向量n等於 為平面的法向量 並且平面會通過點A 那麼滿足條件的平面只有一個嗎 如何表示這個平面呢 首先從影片可以看出 過A點可以找到一條直線L 在直線L上找兩點 形成法向量n等於 與此直線垂直的平面都會互相平行 但是通過A點的平面只有一個 我們將這個平面稱為平面E 在空間坐標中 如何用代數式來表示平面E呢 令P為平面E上的點 當P點剛好是A點時 向量AP等於0向量 所以向量AP‧向量n等於0 當P點不是A點時 根據法向量的性質 可以得知向量AP垂直向量n 所以向量AP‧向量n等於0 故當P為平面E上的點時 向量AP‧向量n等於0 反過來說 空間中滿足向量AP‧向量n等於0的P點 會落在某一條過A點 與直線L垂直的線上 而所有這樣的直線 會形成一個以直線L為垂線 並通過A點的平面 此平面就是平面E 因此P點會在平面E上 從前面的討論可以得知 P點在平面E上 等價於向量AP‧向量n等於0 因為A點坐標為 法向量n等於 因此向量AP‧向量n等於0 可以寫成‧ 等於0 化簡後可得 2乘以括號x加3 加3乘以括號y減1 加1乘以括號z減4等於0 所以平面E上的點P 都是方程式 2乘以括號x加3 加3乘以括號y減1 加1乘以括號z減4等於0的解 而方程式的解形成的點 都落在平面E上 故可用方程式 2乘以括號x加3 加3乘以括號y減1 加1乘以括號z減4等於0 來表示平面E 從前面的實例 可知若已知平面的法向量 與平面上的點坐標 可求得平面的方程式 接下來我們將實例的結果 推廣到一般情形 設向量n等於 為平面E的法向量 E過點A 試求E的方程式 仿照前面的想法 設點P為平面E上一點 則向量AP‧向量n等於0 所以‧等於0 化簡為 a乘以括號x減x 加b乘以括號y減y 加c乘以括號z減z 等於0 反過來方程式 a乘以括號x減x 加b乘以括號y減y 加c乘以括號z減z 等於0的解 點Q 則向量AQ‧向量n等於0 而Q會落在平面E上 故平面E的方程式為 a乘以括號x減x 加b乘以括號y減y 加c乘以括號z減z 等於0 上述的方程式稱為平面E的點法式 觀察點法式 a乘以括號x減x 加b乘以括號y減y 加c乘以括號z減z 等於0 可以得知法向量的分量與通過的點 都出現在方程式中 接下來將方程式 a乘以括號x減x 加b乘以括號y減y 加c乘以括號z減z 等於0 化簡可得 ax加by加cz加d等於0的形式 其中d等於負括號ax 加by 加cz 我們將ax加by加cz加d等於0 稱為平面E的一般式 根據前面的討論 我們可以歸納兩個要點 由平面E的圖形特徵 法向量 平面上的點 可以求得平面E的方程式 由平面E的點法式或一般式 可以找到平面E的圖形特徵 法向量 平面上的點 我們舉例來說明 第一個例子 坐標空間中設點B 對平面E的投影點為A 試求平面E的方程式 要找平面E的方程式 就是要取得平面E的法向量 與確定落在E上的點坐標 因為B點對平面E的投影點為A點 因此直線AB為平面E的垂線 因此向量AB等於 為平面E的一個法向量 又平面E通過點A 所以可得平面E的點法式為 1乘以括號x減3 加6乘以括號y減4 加括號-2乘以括號z減3等於0 化簡成一般式為 x加6y減2z減21等於0 第二個例子 試找出下列各平面的法向量 2x減3y加5z減10等於0 2x加3z等於6 x等於2 我們可以根據點法式或一般式中 x y z項的係數得知法向量的x y z分量 因此為平面 2x減3y加5z減10等於0的法向量 為平面2x加3z等於6的法向量 為平面x等於2的法向量 將前面討論的要點做整理 已知向量n等於 為平面E的法向量 且E通過點 平面E的點法式為 a乘以括號x減x 加b乘以括號y減y 加c乘以括號z減z 等於0 化成一般式為 ax加by加cz加d等於0的形式 其中d等於負括號ax 加by 加cz 由平面E的圖形特徵 法向量 平面上的點 可以求得平面E的方程式 由平面E的點法式或一般式 可以找到平面E的圖形特徵 法向量 平面上的點 請思考下列的問題