在空間概念中

我們知道空間中恰有一個平面

會通過不共線的三點

就好像相機的腳架

有三隻腳可以固定在一個面上

這部影片想要介紹

在空間坐標中

給定不共線三點的坐標

如何求得通過這三點的

平面方程式的方法

在前面的影片中

我們學過只要知道平面的法向量

與平面上一點

就可以求得平面的方程式

因此要求過不共線三點的平面方程式

必須要找出此平面的法向量

我們利用此測驗複習前部影片的重點

先從講解以下實例

設A點

B點

C點

試求平面ABC的方程式

求平面ABC的方程式

首先要找法向量

設向量n為平面ABC的法向量

根據法向量的性質

可以在平面ABC上找兩個已知向量

向量n都與其垂直

因為向量AB等於

向量AC等於

所以向量n垂直於向量AB

且向量n垂直於向量AC

故向量n為向量AB 向量AC的公垂向量

根據外積的定義

向量AB cos向量AC垂直於向量AB

向量AB cos向量AC垂直於向量AC

因此向量n平行於向量AB cos向量AC

等於

我們取向量n等於

又已知點A在平面ABC上

因此平面ABC的方程式為

8乘以括號x減3

減10乘以括號y加1

減11乘以括號z減1

等於0

化簡成一般式為

8x減10y減11z減23等於0

將上述求平面ABC方程式

的過程的要點整理如下

它會適用於一般的情形

空間坐標中

給定不共線三點A B C的座標

法向量n會垂直由A B C所形成向量

例如 向量n垂直向量AB

且向量n垂直向量AC

因此向量n為向量AB 向量AC的公垂向量

再利用外積的定義求出

向量AB cos向量AC

同時已知向量AB cos向量AC

也是向量AB 向量AC的公垂向量

因此向量n平行於向量AB cos向量AC

因此形如t乘以括號向量AB cos向量AC

均為平面的法向量

再找平面上一點的座標

就可以得到平面的方程式

利用前面介紹的方法

已知平面E對於x y z軸的截距a b c

其中a b c不等於0

可以推知平面E的方程式

根據截距的意義

平面E對於x y z軸的截距為a b c

這表示A點

B點

C點在E上

設向量n為平面E的法向量

向量n垂直於向量AB

等於

且向量n垂直於向量AC

等於

因此向量n平行於向量AB cos向量AC

等於

取向量n等於

又E通過

故平面E的方程式為

bcx加acy加abz等於abc

可以化簡成a分之x

加b分之y

加c分之z等於1

因此若平面E對於x y z軸的截距

分別為a b c

其中a b c不等於0

則平面E的方程式可以表為

a分之x

加b分之y

加c分之z等於1

這個形式的方程式

稱為平面E的截距式

最後我們將前面介紹的結果加以整理