前幾部影片中

我們曾介紹過平面的法向量

可以用來描述空間中平面的方向

並且得知給定平面的方程式後

就可以找出一個法向量

若兩平面相交於一直線

那麼是否可以利用法向量

求得兩平面的夾角呢

這是本部影片主要探討的問題

前面的影片中

我們曾介紹兩面角的意義

我們來複習一下吧

圖中是一個以L為稜

半平面E1 E2為面的二面角

這就好像筆記型電腦

螢幕與鍵盤兩部分所夾的角

如何測量二面角的大小呢

我們可以在二面角的稜L上任取一點P

過P點分別在兩半平面E1與E2上

作垂直L的兩條射線

這兩條射線所形成的角

就稱為二面角的大小

當我們將二面角中的半平面

擴展成平面時

設平面E1與E2相交於一直線

可知E1與E2會有四個二面角

我們稱為兩平面的交角

其中一組對應相等

一組則為另一組的補角

在空間坐標中

可以使用方程式來描述平面

因此我們不禁會問以下問題

若已知相交於一直線的兩平面方程式

是否可以找出兩平面的交角呢

接下來我們來討論上述的問題

設E1為a x加b y加c z加d 等於0

E2為a x加b y加c z加d 等於0

為空間中相交於一直線的兩平面

根據前面的說明

它們會有四個二面角

其中一組對應相等

一組則為另一組的補角

取n1向量等於

n2向量等於

分別為平面E1與E2的法向量

設n1向量 n2向量的夾角為θ

可以利用向量內積的定義求出cos θ等於

n1向量的絕對值乘n2向量的絕對值

分之n1向量‧n2向量

進一步得知θ

從影片中的圖形

可以看出n1向量和n2向量的夾角

等於平面E1與E2的一個交角

故E1 E2的交角為θ與180度減θ

當E1與E2垂直時

交角等於90度

此時法向量n1向量和n2向量的夾角

亦等於90度

故法向量n1向量和n2向量互相垂直

反過來說

法向量n1向量和n2向量垂直時

E1與E2的交角等於90度

故E1與E2垂直

兩平面垂直的充要條件是

兩平面的法向量垂直

我們舉個實例來求兩平面交角

試求兩平面E1為x加2y加3z等於7

E2為2x減3y減z等於5的交角

取n1向量等於

與n2向量等於

分別為E1與E2的法向量

先求n1向量與n2向量的夾角θ

因為cos θ等於

n1向量的絕對值乘n2向量的絕對值

分之n1向量‧n2向量

等於根號1平方加2平方加3平方

乘上根號2平方加-3的平方加-1的平方

分之1乘以2

加2乘以-3

加3乘以-1

等於2分之-1

所以θ等於120度

故E1與E2的交角為120度與60度

我們將前面的討論的結果整理如下