前一部影片探討了兩平面的交角問題

這部影片則是要討論空間中

點到平面的距離

首先我們來探討平面外一點

與平面上的動點之距離的最小值

設平面E外有一點A

點P在平面E上移動

當P移動到何處時

會使得線段AP的長度最小呢

如何找到線段AP長度的最小值呢

就像平面上要找一點與直線的距離一樣

首先做A點到平面E的垂線L

令L與平面E的交點為H

H點就是A點對平面E的投影點

因為P點是平面E上的動點

若P點不是H點

由於直線AH是平面E的垂線

所以角AHP等於90度

故三角形APH為直角三角形

因為三角形APH為直角三角形

且角AHP等於90度

所以斜邊AP的長度大於股AH的長度

當P點與H點重合時

線段AP的長度會等於線段AH的長度

故當P點在平面上移動時

線段AP長度會大於等於線段AH的長度

因為動點P在平面E上移動時

線段AP長度的最小值

是線段AH的長度

因此我們就定義

A點到平面E的距離

為A點到平面E投影點的距離

我們已經知道

平面外一點到該平面的距離

就是該點到投影點的距離

在空間坐標系中

給定平面方程式與平面外一點

可否由平面方程式的係數與點坐標

來表示距離呢

答案是可以的

我們先用實例來說明

已知點A在平面E

3x加2y加z減21等於0外

試求A點到平面E的距離

我們利用向量正射影的方法

求點A到平面的距離

並以符號d表示距離

設Q點為平面E上任一點

A點到平面E的距離

等於向量QA在法向量

n向量等於上

正射影的長度

即A點到平面E的距離等於

利用向量QA等於

n向量等於

代入n向量的絕對值分之

向量QA‧n向量的絕對值

可得A點到平面E的距離等於

因為Q點在平面E上

所以3x 加2y 加z 減21等於0

前面實例利用正射影的長度

表示點到平面的距離

一般的情形也可以仿照這個方法

接下來我們就來介紹

如何利用平面方程式的係數與點坐標

來表示點到平面的距離

設點A為平面E

ax加by加cz加d等於0外一點

我們想要用點A的座標與E的係數

表示A點到平面E的距離

令Q點為平面E上任一點

根據前面實例的說明

可知向量QA在n向量等於上

正射影的長度等於

A點到平面E的距離

因為n向量等於

向量QA等於

故向量QA在n向量上的正射影長度為

又因為Q點在平面E上

所以ax 加by 加cz 加d等於0

因此將ax 加by 加cz 換成-d

故點A到平面E

ax加by加cz加d等於0的距離為

根號a平方加b平方加c平方

分之ax 加by 加cz 加d的絕對值

這個式子的分子

是將A點坐標代入

ax加by加cz加d

所得的值再取絕對值

而分母則是平面方程式

x y z的係數平方相加開根號

上述的公式當A點在平面E上時

A點到平面E的距離為0

而根號a平方加b平方加c平方

分之ax 加by 加cz 加d的絕對值

也會等於0

因此不論A點是否在平面上

都可以得到以下的結果

點A到平面E

ax加by加cz加d等於0的距離

等於根號a平方加b平方加c平方

分之ax 加by 加cz 加d的絕對值

我們將前面討論的結果整理如下

這部影片討論了點到平面的距離公式

同學可以想想兩平行平面的距離

是否可以由兩平面的方程式來決定呢

這是下一部影片我們要討論的內容