前一部影片探討了空間中

點到平面的距離問題

接下來利用這部影片

討論兩平行平面的距離問題

首先我們先談談兩平行直線的距離

設L1與L2為兩平行線

在L1上任取兩點A B

A B兩點分別向L2做垂線

投影點分別為C D兩點

因為角ACD等於角BDC等於90度

所以四邊形ABDC為矩形

故線段AC與線段BD長度相等

也就是說

在L1上任取一點

該點到平行線L2的距離是一個定值

而這就是兩平行線L1與L2的距離

設平面E1與E2為兩平行平面

討論這兩個平面的距離問題

想法類似於

平面上兩平行線的距離問題

在E1上任取A B兩點

A B分別對平面E2作垂線

投影點分別為C D兩點

因為直線AC與直線BD分別為E2的垂線

因此角ACD等於角BDC等於90度

所以四邊形ABDC為矩形

故線段AC與線段BD長度相等

換句話說

在E1上任取點P

不管P點如何取

P點到平行平面E2的距離都會是定值

這個值就定義為

兩平行平面E1與E2的距離

我們已經定義了兩平行平面的距離

就是在一個平面上取點

該點到另一平行面的距離

就是兩平行面的距離

前一部影片我們已經討論了

點到平面的距離公式

因此我們可以利用此公式

求兩平行平面的距離

我們先用實例來說明

E1為3x加2y減z減10等於0

E2為3x加2y減z加4等於0

為兩平行平面

試求E1與E2的距離

先在E1上取點P

P點到E2的距離就等於兩平行面

E1與E2的距離

利用點到平面的距離公式

故兩平行面E1與E2的距離

等於根號3平方加2平方加-1平方

分之3乘以0加2乘以5減0加4

的絕對值

等於根號14分之14

等於根號14

接下來我們來推導

兩平行平面的距離公式

設兩平行平面E1與E2的方程式為

E1為ax加by加cz加d 等於0

E2為ax加by加cz加d 等於0

因為E1平行E2

因此d 不等於d

在平面E1上取一點P

根據前面的討論可以得知

兩平行面E1與E2的距離

等於P點到平面E2的距離

利用點到平面的距離公式

兩平行面E1與E2的距離

等於根號a平方加b平方加c平方

分之ax 加by 加cz 加d

的絕對值

因為P點在平面E1上

所以ax 加by 加cz 加d 等於0

將算式中ax 加by 加cz

用-d 取代

因此兩平行面E1與E2的距離

等於根號a平方加b平方加c平方

分之ax 加by 加cz 加d

的絕對值

等於根號a平方加b平方加c平方

分之-d 加d 的絕對值

等於根號a平方加b平方加c平方

分之d 減d 的絕對值

所以可以得到以下結果

兩平行平面E1等於ax加by加cz加d 等於0

E2等於ax加by加cz加d 等於0的距離

等於根號a平方加b平方加c平方

分之d 減d 的絕對值