各位同學有沒有看過

電影中一些很緊張的橋段

像在不可能任務系列的電影中

男主角想要竊取機密文件

就必須小心翼翼的躲過這些雷射光束

如果一不小心碰到了雷射光

整個空間就會轟轟作響

而你就會被發現偷潛入這個機密的空間

這些雷射光束像是以直線形式存在

今天的重點就是在空間中的這些直線

我們一起來看看

要如何寫出空間中的直線方程式

前面所提到的雷射光束

看起來像是朝著某個方向前進

在這裡我們可以利用

之前所學的空間向量

來導出空間中的直線方程式

在空間中與直線L平行的非零向量

我們稱為L的方向向量

不過從畫面中可以發現

與直線L平行的向量有無限多個

因此要特別注意

直線的方向向量並不唯一唷

有了方向向量以後

接著我們想知道該如何表示

直線的方程式

要得到直線方程式

我們還需要知道

直線的方向向量和直線上的一點

不過為什麼只要知道直線的這兩個條件

就可以得到直線方程式呢

舉例來說

已知直線L過A點

方向向量

如果從直線上已知的一點A點出發

經過了一個方向向量

v向量等於後

會得到直線上的另一點

同樣地從A點出發

經過兩倍的方向向量2v向量後

又會再得到直線上的另一點

計算得到此點為

若都從同一點A出發

經過t倍的方向向量

我們可以找到相對應的點

當t大於0時會得到與同方向上的點

當t小於0時會得到反方向上的點

值得注意的是當t等於0時

得到的點就是點A唷

以此類推

當t為實數時

我們可以從圖中很明顯的可以看見

相對應的點會佈滿整個直線L

而t這個變數

我們又稱為參數

在了解為什麼只需要直線的方向向量

和在直線上的一點

就可以知道直線方程式後

我們就試著來推導看看

究竟直線方程式的x y z等於什麼吧

已知直線L通過點A

且直線L的方向向量v向量等於

設點P為直線L上的任意點

因為AP向量平行v向量

所以AP向量等於tv向量

t為實數

我們可以得到

AP向量

等於t

接著將x分量 y分量 z分量

分開來寫可以得到此方程組

移項後可以得到

x等於3加2t

y等於4加t

z等於1加3t

t為實數的方程組

這就是直線L的參數式

如果再觀察仔細一點

可以發現這裡的3 4 1

就是原先已知直線L上的一點

A的x坐標 y坐標 z坐標

而t前面的係數2 1 3

就是直線方向向量的x分量 y分量 z分量唷

所以我們統整一下

設直線L通過點A

且與非零向量v向量等於平行

則直線L的參數式為

x等於x 加at

y等於y 加bt

z等於z 加ct

t為實數

其中t為參數

向量v為直線L的方向向量

這裡有個值得注意的地方是

根據所選取的A點不同

或方向向量不同

最後大家寫出來的直線參數式

也就不一樣唷

所以同一個直線的參數式表示法

也不是唯一的唷

我們一起來練習看看吧

試求通過點A

且與向量v向量等於

平行的直線L參數式

根據剛剛所說的直線參數式表示法

先將通過直線L的點坐標A

分別寫在x y z的等號後方

接著將平行於直線的向量

也就是直線的方向向量v向量

等於

分別當作參數t的係數

最後記得寫上t為實數

即為直線L的參數式

剛才我們看見了直線L的參數式

不過除了參數式之外

直線還有另一種表示法叫做比例式

我們拿一開始的直線參數式來看

經過一步一步的移項後可推得

2分之x減3等於t

1分之y減4等於t

3分之z減1等於t

也就是2分之x減3等於1分之y減4

等於3分之z減1

而這就是直線L的比例式

再來看一次

當a b c皆不為0時

設直線L的參數式為螢幕上所示

根據同樣的推導過程

可以得到a分之x減x

等於b分之y減y

等於c分之z減z

我們稱此為直線L的比例式

對照一下可以發現

其中

就是直線L通過的點坐標

而分母的a b c

就是直線方向向量的x分量 y分量 z分量

同樣地比例式跟參數式一樣

表示法並不唯一唷

在今天這支影片中

我們學會了兩種直線方程式表示法

那我們下一支影片見 掰掰