各位同學

在上個章節中我們知道

假如要求平面方程式

則需要平面的法向量及平面上一點

在今天的影片中

我們就要透過觀察兩平面的方程式

來判斷出兩平面的關係

那麼同學們還記得

空間中兩平面的關係有哪些嗎

回顧了空間中兩平面的關係

有重合 平行和相交於一直線的關係後

接著我們就來觀察

當兩平面的法向量平行時

兩平面的關係為何

當兩平面的法向量不平行時

兩平面的關係又是如何

首先觀察一下當兩平面平行時

兩平面法向量的關係

這裡來複習一下平面的法向量

我們在前面影片中

了解了平面的法向量

可由平面方程式的x y z項係數得知

因此我們可以知道

螢幕上平面E 的其中一個法向量

為

平面E 的其中一個法向量

為

因為兩個法向量n 向量

和n 向量成係數積的關係

所以兩個法向量平行

因此當兩平面E 與E 平行時

平面E 與E 的法向量也會是平行

但兩平面的法向量平行時

那麼兩平面一定會平行嗎

若將螢幕中的平面E 漸漸往下移動

此時兩平面的法向量

n 向量與n 向量依舊為平行的兩向量

此時平面E 和E 還是平行的

在平面E 移動到與平面E 相交時

可以發現當兩平面的法向量平行時

兩平面E 與E 還有另一種關係

就是重合

若將平面E 繼續往下移動

則會再回到兩平面平行的情況

由前面我們可以知道

當兩平面法向量平行時

兩平面會有平行或是重合這兩種關係

但我們該如何判斷是平行還是重合呢

仔細觀察一下兩平面平行

與兩平面重合時的平面方程式

雖然x項係數 y項係數和z項係數

因為法向量平行的關係

都會成比例

不過若將等號右方的常數項一起比較看看

就會發現只有在兩平面重合時

才會連常數項也成比例關係

而當兩平面平行時

常數項的比例

與x y z項係數的比例會不相等

我們一起練習接下來的題目吧

若空間中有兩平面E

x加3y減6z等於7

與E

3x加ay加bz等於12

已知平面E 與E 平行

則a b的值為何

因為平面E 與E 平行

表示x項係數 y項係數和z項係數

會成比例

所以可以列出

1分之3等於3分之a

等於-6分之b的等式

經過計算即可得到

a等於9 b等於-18

因為平面E 與E 重合

表示x項係數 y項係數 z項係數

和常數項都會成比例

所以可以列出

2分之-1等於a分之-2

等於3分之c等於b分之4的等式

經過計算即可得到

a等於4 b等於-8 c等於-2分之3

接下來我們觀察一下

當兩平面法向量不平行時

兩平面的關係吧

從圖中可見

當兩平面的法向量

n 向量與n 向量不平行時

平面E 與E 會相交於一直線

由此可知

之後在判斷兩平面關係時

從平面方程式中

得知平面的法向量後

若兩平面法向量不平行

則可判斷此兩平面會相交於一直線

在今天這支影片中

我們學會了如何利用兩平面法向量的關係

來判斷兩平面的關係

在前面的影片中

舉的例子都是x y z項係數皆不為0的情況

因為當我們利用比值去判斷兩平面關係時

會有一個條件限制

是分母不能為0

那麼假如空間中一平面方程式的x y z項係數

有等於0的情況時

該如何處理呢

其實除了用比值去判斷兩平面關係外

我們也可以利用比的關係

去判斷兩平面關係

例如當a 比b 比c 比d

等於a 比b 比c 比d 時

則兩平面E 與E 的關係為重合

此時x y z項係數就沒有皆不為0的限制了

這支影片我們看見

兩平面有相交於一直線的情形

這一系列的影片重點在於空間中的直線

因此在下一支影片中

我們就會來看看

當兩平面相交於一直線時

這條直線的方程式該如何表示

那我們就下一支影片再見囉 掰掰