各位同學

在上一支影片中我們學會了

以兩平面法向量的關係

來判斷兩平面的關係

現在我們馬上就來幫各位同學複習一下

答案為

回顧之前影片所看見的

我們知道當兩平面法向量不平行時

兩平面的關係為相交於一直線

今天的影片重點

就在於兩平面所相交的

這條直線方程式

在這個章節的一開始

我們就學會了直線可以用

參數式或比例式的形式來表示

而今天我們要來認識第三種直線的表示法

假設空間中有兩平面方程式為

E x加y加z等於3

和E 2x加y加3z等於7

從螢幕中可以看見直線L

是由這兩個平面相交而成的

因此直線L可以表示成

以大括號連結兩平面方程式的樣子

如螢幕中所示

這種用兩平面方程式來表示直線的方法

就稱為直線的兩面式

不過直線L不只可以用螢幕中

這兩平面相交而成

任意兩平面同樣地只要相交於直線L

直線L的兩面式表示法

就會有所不同

因此直線兩面式的表示法

並不唯一唷

認識了直線兩面式的表示法後

我們還想知道

若想要將直線的兩面式

改寫成直線的參數式或比例式時

該怎麼做呢

同學們還記得在求直線方程式時

需要哪兩個條件

就可以求出直線方程式嗎

答案為

因為求直線方程式

需要直線的方向向量

及直線上一點

因此我們要從直線的兩面式中

先得到直線的這兩個條件

首先我們該如何從直線的兩面式中

求得直線的方向向量呢

其實從螢幕中的圖可以看到

直線的方向向量

會垂直於平面E 的法向量n

也會垂直於平面E 的法向量n

前面提到n 向量與n 向量的外積

n 向量cross n 向量

是n 向量與n 向量的公垂向量

由此可知

直線的方向向量

會平行於兩平面法向量的外積

因此我們可以取此直線的方向向量

v向量等於n 向量cross n 向量

計算得到

v向量等於

這樣就可以求出直線的方向向量了

馬上來練習一題吧

接著我們要從直線的兩面式中

求得直線上一點

該怎麼做呢

假設A點是在直線上的一點

因為此直線是兩平面的交線

所以A點也會落在兩平面上

也就是A點坐標會滿足

這兩個平面方程式

因此我們只要找出方程組的一個解即可

令z等於0代入方程組

可得x加y等於3 2x加y等於7

解聯立後可得

x等於4 y等於-1

因此A點坐標為

而點A即為交線上的一個點

前面我們有提到

因為A點坐標滿足兩個平面方程式

目標只要找出方程組的一個解即可

所以在取直線上的一點A時

不一定要取z等於0的點

假如你可以令

x等於0再去解聯立

找到x等於0的點

或者是找任何一點

符合方程組的都可以唷

現在我們已經會從直線的兩面式

求出直線方向向量和直線上一點了

最後就可以利用直線方向向量

和直線上一點這兩個條件

來寫出此直線的參數式和比例式囉

直線的參數式為

x等於4加2t

y等於-1減t

z等於-t

t為實數

直線的比例式為

2分之x減4

等於-1分之y加1

等於-1分之z

從直線兩面式改寫成直線參數式

除了前述的做法外

其實還有另一種方法

我們就以前一題測驗題的數字為例

寫出此直線L的兩面式後

首先將其中一項未知數消去

例如消去x

我們就將第一式乘以2減掉第二式

會得到y減3z等於-7

接著令z等於t

代入第三式可得

y等於-7加3t

再將y z都代入第一式可得

x等於-4減3乘以括號-7加3t加t

化簡得到 x等於17減8t

所以直線L的參數式就是

x等於17減8t

y等於-7加3t

z等於t

t為實數

在今天這支影片中

我們學會了新的直線表示法

當兩平面相交於一直線時

此交線可用兩面式來表示

兩面式就是用兩平面的方程式

來表示直線的方法

寫法如螢幕中所示

再來當我們要求直線的

參數式和比例式時

其中一種方法是

需先求出直線的方向向量

和直線上一點

即可求得直線的參數式和比例式了

其中直線的方向向量

可由兩平面的法向量外積得來

而直線上一點

只要找到同時符合兩平面方程式的一組解

其解就是在直線上的一點

另一種方法是

可以先將一個未知數消去

再令其中一個未知數為t

一步一步代回方程式中

即可得到以t表示的x y z了

前面這幾支影片中

我們已經學會了幾種直線方程式的表示法

接下來在下一支影片中

我們即將看見直線與平面的關係

期待一下吧

那我們下一支影片見囉 掰掰