各位同學

還記得在平面中對稱點的概念嗎

點P對直線L之對稱點P'

係指直線L是線段PP'的中垂線

簡單測驗一下吧

不過如果今天從平面擴展到空間中時

我們該如何找到對稱點呢

今天這支影片的重點

就是要來認識在數學中

我們該如何求出點對平面的對稱點

不過在開始之前

先檢驗一下各位同學

還記不記得在上一支影片中

已知直線與平面相交於一點

該如何求出直線與平面的交點坐標

如果同學們還記得如何求

直線與平面的交點坐標

接下來就可以進入到今天這支影片的重點了

若題目要求點對平面的對稱點

從畫面中可知

由原來的點到對稱點間

必定會經過點對平面的投影點

所謂投影點即為點向平面

做垂線所形成的垂足

因此我們在求點對平面的對稱點時

可以先求出點對平面的投影點唷

直接來看一題範例吧

空間中有一點P

與一平面E 2x加y加z等於0

試求P點對平面E的投影點坐標

這裡我們設Q點為P點對平面E的投影點

此時從題目的線索即可寫出

PQ直線的參數式囉

寫出直線參數式

需要直線方向向量

以及在直線上的一點

從螢幕中可知

PQ直線的方向向量

平行於平面E的法向量

我們可以取平面E方程式中x y z項係數

成為平面E的法向量

同時也等於PQ直線的方向向量

而在直線上一點

很明顯地

我們可以取P點

找出直線方向向量及直線上一點後

就能寫出PQ直線的參數式為

x等於1加2t

y等於2加t

z等於2加t

t為實數

寫到這邊後

各位同學有沒有覺得很熟悉呢

接下來要求的投影點Q

其實就相當於在求PQ直線

與平面E的交點坐標

設Q點為

因為Q點在平面E上

所以可以將Q點坐標

代入平面E方程式中計算

得到t等於-1

再將t等於-1代回Q點

得Q點為

即P點對平面E的投影點坐標為

換你來練習一題吧

學會如何求點對平面的投影點後

接下來回到影片一開始的目標

我們該如何求點對平面的對稱點呢

可以觀察一下螢幕中

原來的點 投影點及對稱點三點的關係

有沒有發現在中間的投影點

剛好會是原來的點和對稱點的中點呢

所以我們來複習一下中點公式吧

設A點

B點

P為線段AB之中點

則P點坐標為

也就是x y z項坐標分別相加除以二

例如 已知A點

B點

P為線段AB之中點

求P點坐標為何

利用中點公式可得P點坐標為

計算得P點為

回顧完中點公式後

回到剛剛的例題

空間中有一點P

與一平面E 2x加y加z等於0

前面我們已經求出

P點對平面E的投影點為Q

接下來我們要求P點

對平面E的對稱點坐標

設R點為P點對平面E的對稱點

因為Q點是P、R的中點

利用中點公式

可得中點Q

等於

x項 、y項 、z項坐標分開計算

即可得x等於-3 , y等於0 , z等於0

也就是對稱點R的坐標為

接著換你來練習一題吧

今天這支影片中

我們學會了如何求點對平面的對稱點

通常在求對稱點之前

會先求出點對平面的投影點

而投影點坐標的求法

就會用到直線與平面交點坐標的求法

接著我們利用中點公式

再來求出點對平面的對稱點

而這裡也有稍微複習了一下中點公式

依照上述步驟

即可求出點對平面的對稱點囉

在前面幾支影片中

已經介紹了平面與平面的關係

直線與平面的關係

接下來的影片中

我們即將介紹直線與直線的關係

那我們就下一支影片再見囉 掰掰