回顧一下在上一支影片中

我們介紹了如何以直線方程式

判斷兩直線的關係

首先我們會以兩直線的方向向量是否平行

將兩直線關係的四種情形分成兩類

接著計算兩直線是否有交點

即可將四種情形區分完成

那同學們還記得

區分完後的這四種兩直線關係

分別是哪些關係嗎

在上一支影片中

我們看過兩直線重合

和兩直線平行的例子了

所以在今天的影片中

我們會接著來看

兩直線交於一點

和兩直線歪斜的情形

我們從這個例子來看

給定兩直線L1為

x等於2減t

y等於-1加2t

z等於3加t

其中t為實數

L2為x等於s

y等於-1加s

z等於5減s

其中s為實數

判斷L1與L2的關係為何

首先我們要先判斷

兩直線的方向向量是否平行

從兩直線參數式中

可以取直線L1的方向向量

V1向量等於

直線L2的方向向量

V2向量等於

因為V1向量和V2向量的

x y z分量不成比例

可知V1向量與V2向量不平行

因此L1與L2的關係可能為

交於一點或歪斜

接著要判斷兩直線是否有交點

從交於一點和歪斜的圖可知

若兩直線關係為交於一點

則交點P同時會在直線L1和直線L2上

即兩直線解聯立

存在一組參數

代入兩直線參數式時

得到同一點坐標

反之若兩直線關係為歪斜

則直線L1和直線L2沒有交點

即兩直線解聯立

不存在任何一組參數

代入兩直線參數式時

能得到同一點坐標

所以若要判斷兩直線是否有交點

我們可以將兩直線解聯立

2減t等於s

-1加2t等於-1加s

3加t等於5減s

利用代入消去法

將第一式代入第二式

得-1加2t等於-1加括號2減t

化簡計算得到t等於3分之2

再代回第一式得s等於3分之4

接著將t等於3分之2

s等於3分之4

代回第三式

確認3加3分之2等於5減3分之4

亦成立

由此可知

當參數t等於3分之2

s等於3分之4

代入兩直線參數式時

找得到同一點坐標

代表L1與L2有交點

因此L1與L2的關係為交於一點

而交點坐標可利用t等於3分之2

代回L1方程式求得

或利用s等於3分之4

代回L2方程式求得

這裡利用t等於3分之2代回L1

得x等於3分之4

y等於3分之1

z等於3分之11

即兩直線交點坐標為

接下來換同學們來練習看看吧

因為直線L1與直線L2交於P點

代表將P點代入兩直線參數式皆成立

首先將P點代入直線L1

得-7等於-1加3t為第一式

d等於-2t為第二式

5等於a減t為第三式

由第一式可得t等於-2

將t等於-2代入第二式可得d等於4

將t等於-2代入第三式可得a等於3

所以交點P為

接著將P點代入直線L2

得-7等於b減2s為第四式

4等於1加3s為第五式

5等於4加cs為第六式

由第五式可得s等於1

將s等於1代入第四式可得b等於-5

將s等於1代入第六式可得c等於1

因此有序數組為

接著來看這一題

給定兩直線L1為2分之x減1

等於3分之y加1

等於-1分之z加1

L2為-2分之x

等於1分之y減2

等於2分之z減3

判斷L1與L2的關係為何

這題的直線是用比例式來呈現

我們可以先將L1 L2改寫成參數式

L1為x等於1加2t

y等於-1加3t

z等於-1減t

其中t為實數

L2為x等於-2x

y等於2加s

z等於3加2s

其中s為實數

接著我們一樣要先判斷

兩直線的方向向量是否平行

從兩直線參數式中

可以取直線L1的方向向量

向量V1等於

直線L2的方向向量

向量V2等於

因為V1向量和V2向量的

x y z分量不成比例

可知V1向量與V2向量不平行

因此L1與L2的關係可能為

交於一點或歪斜

接著要判斷兩直線是否有交點

我們可以將兩直線解聯立

1加2t等於-2s

-1加3t等於2加s

-1減t等於3加2s

第一式與第二式解聯立後得

t等於8分之5

s等於-8分之9

接著將t等於8分之5 s等於-8分之9

代回第三式

發現-1減8分之5

不等於3加2乘以-8分之9

表示沒有一組參數t s

代入兩直線參數式時

能找到同一點坐標

代表L1與L2沒有交點

因此L1與L2的關係為歪斜

在今天這支影片中

我們繼續來看

以直線方程式

判斷兩直線關係的例子

並介紹了若兩直線關係為

交於一點時

我們可以將兩直線解聯立

即可得到兩直線交點坐標

在這兩支影片中

我們已經介紹完

四種在空間中兩直線的關係了

同學們下課之後

也要自己多多複習唷

那我們下一支影片見 掰掰