前面幾支影片介紹完兩直線的關係 今天我們要來看 與直線有關的距離問題 不過在看與直線有關的距離之前 先讓各位同學複習一下 兩點之間的距離 看看同學們還記不記得 兩點之間的距離該如何計算 首先我們來看點到直線的距離 當我們在求距離時 指的都是最短距離 所以若已知點P點 與直線L x等於4加2t y等於2減3t z等於8加2t 其中t為實數 我們要求P點到直線L的距離為何時 可以先假設在直線L上的一點Q 坐標為 根據兩點距離公式 可知線段PQ長等於 根號括號4加2t減1的平方 加括號2減3t減3的平方 加括號8加2t減4的平方 乘開整理一下可得 根號17t平方加34t加26 因為我們要求線段PQ的最短距離 所以可以將根號內的一元二次式作配方 得到根號17乘以括號t加1的平方加9 如此即可知道當t等於-1時 線段PQ長有最小值為根號9 等於3 因此P點到直線L的距離為3 那麼此時的Q點坐標為何呢 將t等於-1代入Q點坐標 即可得知此時的Q點坐標為 前面我們利用了兩點距離公式 透過配方法求出最小值 來得到空間中點到直線的距離 那麼同學們也可以想想看 還有沒有其他方法 可以求得空間中點到直線的距離呢 各位同學可以觀察一下 從前面的例子中 我們利用兩點距離公式 求最小值得知點到直線的距離 不過你知道當這個距離的最小值發生時 Q點究竟是發生在圖形中 直線上的哪一點嗎 根據畢氏定理可知 直角三角形的斜邊會大於兩股 因此當線段PQ長為最小值時 此時的Q點會落在P作L垂線的交點上 也就是說線段PQ會垂直於直線L 因此在空間中 從直線L外一點P作L的垂線交L於Q點 我們就稱線段PQ長 為P點到直線L的距離 而此時Q點剛好就是 P點在直線L上的投影點 由此可知 當我們在求P點到直線L的距離時 相當於在求P點 到P在L上的投影點Q的距離 那麼我們要如何求投影點Q呢 就必須利用線段PQ垂直L的性質了 什麼意思呢 以剛剛的例子來看 已知點P 與直線L x等於4加2t y等於2減3t z等於8加2t t為實數 我們要求P點到直線L的距離 這個問題相當於在求 P點到P在L上投影點的距離 所以可以先假設Q點為P點在L上的投影點 因為Q點在直線L上 所以可令Q點坐標為 又因為線段PQ垂直L 因此我們可以運用兩向量垂直時 兩向量內積會等於零的性質 來列出方程式並解出t 向量PQ等於 直線L的方向向量 v向量等於 因為向量PQ垂直v向量 所以向量PQ‧v向量 等於‧ 等於0 計算一下即可解出 t等於-1 因此Q點坐標為 接著計算P點到P在L上投影點Q的距離 PQ線段長等於根號括號2減1的平方 加括號5減3的平方 加括號6減4的平方 等於根號1加4加4 等於3 因此P點到直線L的距離即為3 換同學們利用這個方法來練習看看吧 前面我們介紹了兩種求空間中 點到直線距離的方法 接著我們來看看 那麼空間中兩平行線的距離 又該怎麼求呢 當兩直線L1 L2互相平行時 其中一直線上的任意一點 到另一直線上的距離都相等 我們將此段距離稱為兩平行線的距離 由此可知 當我們要求兩平行線距離時 其實只要在一直線上任取一點 接著利用剛剛學會的 求點到直線距離的方法 去求該點到另一直線的距離 即為兩平行線的距離 舉個例子 試求兩平行線 直線L1為4分之x減1 等於3分之y減2 等於-1分之z減3 與直線L2為4分之x加1 等於3分之y加5 等於-1分之z的距離 首先我們可以任取直線L1上的一點 接著求該點到直線L2的距離 即為兩平行線的距離 由直線L1的比例式可知點P 是直線L1上的一點 接下來求兩平行線的距離 就相當於是求點P到直線L2的距離了 而求點P到直線L2的距離 又等同於P點到P在L2上投影點的距離 所以可以先假設Q點為 P點在L2上的投影點 因為Q點在直線L2上 所以令Q點坐標為 向量PQ等於 直線L2的方向向量 v向量等於 因為向量PQ垂直v向量 所以向量PQ‧v向量 等於‧ 等於0 計算一下即可解出t等於1 因此投影點Q點坐標為 最後計算線段PQ的長度 線段PQ長等於根號括號3減1的平方 加括號-2減2的平方 加括號-1減3的平方 等於根號4加16加16 等於6 P點到直線L2的距離為6 即兩平行直線L1與直線L2的距離為6 在今天這支影片中 我們介紹了兩種求空間中 點到直線距離的方法 第一種方法是利用兩點距離公式 透過配方法求出最小值 此最小值即為點到直線的距離 第二種方法則是利用兩向量垂直 則內積等於零的性質 先求出投影點坐標 再計算該點到其投影點的距離 此即為點到直線的距離 接著我們也介紹了如何求空間中 兩平行線的距離 首先在其中一條直線上任取一點 再計算該點到另一條直線的距離 即為兩平行線的距離囉 在下一支影片中 我們會繼續來看兩直線的距離 同學們可以先猜猜看 空間中還有哪一種兩直線關係 會需要去探討如何計算距離呢 那我們就下一支影片見囉 掰掰