上一支影片中

已經學會了如何求點到直線的距離

和兩平行線的距離

那麼你知道兩歪斜線的距離

該怎麼求嗎

今天這支影片的重點

就要來介紹空間中兩歪斜線的距離

上次我們也觀察到

點到直線的最短距離

剛好會發生在點作直線垂線的交點

也就是點在直線的投影點上

那麼兩歪斜線的最短距離

會發生在哪裡呢

其實對於空間中兩條歪斜線L1 L2

我們也可以在L1 L2上

分別找到一個點P Q

使得線段PQ同時垂直於L1 L2兩條直線

因為直線PQ同時垂直於L1 L2

所以我們稱直線PQ為L1 L2的公垂線

而線段PQ即為公垂線段

那麼在空間中

我們該如何找到

歪斜線L1 L2的公垂線呢

首先我們作包含L2且與L1平行的平面E

接著將L1投影到平面E上

會得到直線L3

因為L1與L2為歪斜

所以L3與L2會恰交於一點Q

最後過Q點作一直線垂直平面E

並與L1交於P點

則直線PQ與L1 L2都會垂直

即直線PQ為L1 L2的公垂線

不過為什麼我們要介紹

兩歪斜線的公垂線呢

兩歪斜線的距離

指的是兩歪斜線的最短距離

所以接下來我們就來看看

公垂線與兩歪斜線

最短距離究竟有什麼關係吧

因為我們要求兩歪斜線的距離

所以先在L1 L2上各任取一點P' R

令P'點對平面E的投影點為Q'

則線段P'Q'等於線段PQ

從畫面中可知

P' Q' R三點可形成一個直角三角形

根據畢氏定理

直角三角形的斜邊會大於兩股

所以在三角形P'Q'R中

線段P'R的長度

大於等於P'Q'的長度

因此線段P'R的長度

大於等於PQ的長度

也就是說

在直線L1 L2上各任取一點時

它們的連線段長之最小值

會發生在P Q兩點上

即公垂線段線段PQ的長度

因此兩歪斜線L1 L2的距離

即為公垂線段線段PQ的長度

舉個例子來看看吧

已知直線L1為2分之x加1

等於-2分之y減2

等於-1分之z

與L2為1分之x減3

等於-4分之y減1

等於1分之z減1

互為歪斜線

試求L1與L2的公垂線段之兩端點坐標

和L1與L2的距離

首先我們假設P Q為公垂線段的兩個端點

因為P點在直線L1上

所以可令P點坐標為

t為實數

因為Q點在直線L2上

所以可令Q點坐標為

s為實數

因為公垂線會同時垂直於兩歪斜線

所以我們可以運用兩向量垂直時

內積等於零的性質

來列出方程式並解出t與s

向量PQ等於

直線L1的方向向量v1向量等於

直線L2的方向向量v2向量等於

因為向量PQ同時垂直v1向量和v2向量

所以向量PQ‧v1向量等於0

且向量PQ‧v2向量等於0

如此即可列出兩聯立方程式

2乘以括號4減2t加s

減2乘以括號-1加2t減4s

減括號1加t加s等於0

和括號4減2t加s

減4乘以括號-1加2t減4s

加括號1加t加s等於0

兩方程式皆乘開整理一下

可得t減s等於1

和t減2s等於1

解聯立得t等於1 s等於0

所以P點坐標為

Q點坐標為

因此公垂線段之兩端點坐標為

與

第二小題要求L1與L2的距離

因為歪斜線L1 L2的距離

就是公垂線段的長度

因此利用兩點的距離公式

可得線段PQ長

等於根號括號3減1的平方

加括號1減0的平方

加括號1減-1的平方

等於根號4加1加4

等於3

因此L1與L2的距離為3

接下來換你來練習看看吧

在今天這支影片中

我們介紹了什麼是公垂線

空間中兩條歪斜線L1 L2

在L1 L2上分別有一個點P Q

使得線段PQ同時垂直於L1 L2兩條直線

則直線PQ即為L1 L2的公垂線

而線段PQ為公垂線段

接著我們發現兩歪斜線的最短距離

會發生在公垂線上

因此兩歪斜線的距離

即為公垂線段的長度

最後當我們要求兩歪斜線的距離時

相當於是求公垂線段長

因此會利用到兩向量垂直

則內積等於零的性質

來列出方程式

並求出公垂線段的兩端點坐標

再計算出兩點距離

即為兩歪斜線的距離囉