各位同學 上個單元我們學了條件機率的定義 當A B為兩事件且A發生的機率大於0時 將在事件A發生的條件下 事件B發生的機率 稱為條件機率 以下列符號表示 當事件A發生的條件下 事件B發生的機率 等於A發生的機率分之 A交集B發生的機率 現在來想想以下這個問題 袋中有3顆紅球 7顆綠球 每球被取到的機會相等 均均從袋中取球兩次 每次取出1球 取後不放回 求第一題 兩次都取到紅球的機率 第二題 已知第一次取到紅球 求第二次也取到紅球的機率 設S為此試驗的樣本空間 令A表示第一次取到紅球的事件 B表示第二次取到紅球的事件 第二小題在A發生的條件下 B發生的機率等於9分之2 也可以這樣解釋 在第一次取到紅球後 袋子裡剩下2顆紅球 7顆綠球 故第二次取到紅球的條件機率為9分之2 也因此第一小題的結果 除了從古典機率的定義得到之外 也可以從條件機率來看 根據條件機率的定義 當A發生的條件下B發生的機率 等於A發生的機率分之 A交集B發生的機率 兩邊同乘以A發生的機率 得到A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘上 當A發生的條件下B發生的機率 等於10分之3乘上9分之2 等於15分之1 所以若先求出 當A發生的條件下B發生的機率 亦可藉此求出 A交集B發生的機率 我們將兩事件A與B同時發生的機率 A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘上 在A發生的條件下B發生的機率 稱為條件機率的乘法定理 條件機率的乘法定理 假設A B是同一樣本空間S中的兩事件 且A發生的機率大於0 則A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘上 在A發生的條件下B發生的機率 二年A班有5分之2的同學會彈鋼琴 會彈鋼琴的同學中 有4分之3的同學是女生 則2年A班會彈鋼琴的女生 佔全班同學的比例為何 令A表示會彈鋼琴的事件 令B表示女生的事件 再來看這一道取球問題 袋中有3顆紅球 7顆綠球 每球被取到的機會相等 均均從袋中取球兩次 每次取出1球 取後不放回 則第一題 第一次取到紅球的機率為何 第二題 第二次取到紅球的機率為何 令A表示第一次取到紅球的事件 B表示第二次取到紅球的事件 第一題 第一次取球時袋中有10個球 其中有3個是紅球 故第一次取到紅球的機率為 A發生的機率等於10分之3 第二題 第二次取到紅球的機率 可分為第一次取到紅球 與第一次沒有取到紅球 兩種互斥的情形討論 即B等於A交集B聯集A'交集B 故第二次取到紅球的機率 等於第一次取到紅球 且第二次取到紅球的機率 加上第一次取到綠球 且第二次取到紅球的機率 根據條件機率的乘法原理 這裡等於A發生的機率乘上 在A發生的條件下B發生的機率 加上A'發生的機率 乘上在A'發生的條件下 B發生的機率 我們可以用樹狀圖來分析這一小題 每次取球只有取到紅球 跟沒有取到紅球兩種情形 因此可依題意將發生情形 及其機率用樹狀圖呈現 第二次抽到紅球有這兩種情形 第一次取到紅球且第二次取到紅球 以及第一次取到綠球且第二次取到紅球 而這兩種情況的機率 分別為10分之3乘以9分之2 以及10分之7乘上9分之3 因此將這兩個機率相加即得到答案 由這個例題可知 條件機率的乘法原理 也可以用樹狀圖的概念來求機率 而且第2小題還告訴我們 不論第一次取到哪種顏色的球 第二次取到紅球的機率 與第一次取到紅球的機率相等 也就是說 取到紅球的機率跟取球順序無關 籤筒內10支籤中3支有獎 甲 乙兩人依序抽出一支籤 且抽完後不放回 假設每支籤被抽到的機率相等 試求 第一題甲中獎的機率 第二題乙中獎的機率 在這個單元中 我們學到條件機率的乘法原理 設A B為樣本空間S中的兩個事件 則A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘上 在A發生的條件下B發生的機率 此外我們也發現一件有趣的事實 抽籤是公平的遊戲 在不知道前面的人抽出什麼的情況下 每個人的中獎機率都相同 最後來思考個有趣的問題 假設班上有30位學生 則班上有同學生日相同的機率是多少呢 你覺得機率會大於百分之50嗎 我們先計算30位學生生日都不同的機率 假設一年有365天 若一年中某日為1號同學的生日 則2號同學與1號同學生日相異的機率 為365分之364 3號同學與前面兩位同學生日不同的機率 為365分之363 依此類推 30號同學與前面同學生日都相異的機率 為365分之336 因此由條件機率的乘法原理 全班30位同學生日都相異的機率為 1乘以365分之364 乘上365分之363 依序乘到365分之336 等於365的29次方 分之335階乘 分之364階乘 約等於0.2937 換言之班上有同學生日相同的機率為 1減掉365的29次方分之 335階乘分之364階乘 約等於1減0.2937 等於0.7063 很神奇吧 這個問題有時也被稱作生日悖論 想一想為什麼答案跟直覺有落差呢 有興趣的同學也可以再進一步研究唷