條件機率告訴我們 一個事件的發生與否 可能會改變另一事件發生的機率 但也有不互相影響的例子 舉例來說 均均 酷客兩人各擲一次公正骰子 並令A表示均均擲出6點的事件 B表示酷客擲出6點的事件 顯然地均均是否擲出6點 並不會影響酷客擲出6點的機率 同樣的酷客是否擲出6點 也不會影響均均擲出6點的機率 也就是說這兩個事件並不會互相影響 再例如擲一粒公正骰子一次 並令A表示出現偶數點的事件 B表示出現3點或6點的事件 因為A等於2 4 6 B等於3 6 所以事件B發生的機率為 6分之2等於3分之1 另一方面A交集B等於6 從上次的課程中 我們可以求得在事件A發生的條件下 事件B發生的機率等於 A的元素個數分之A交集B的元素個數 等於3分之1 因此在事件A發生的條件下 事件B發生的機率 等於B發生的機率 這個結果告訴我們 在事件A發生的條件下 事件B發生的條件機率 不會受到影響 然而若令C表示出現質數點的事件 因為A交集C等於2 所以C發生的機率 等於6分之3等於2分之1 在A發生的條件下 C事件發生的機率 等於A的元素個數分之 A交集C的元素個數 等於3分之1 因此在A發生的條件下 C事件發生的機率 不等於C事件的機率 這個結果告訴我們 A事件與C事件會相互影響 由上面的說明我們可以知道 在事件A發生的條件下 其中A發生的機率大於0 若事件B發生的條件機率不受影響 即在A事件發生的條件下 B事件發生的機率 等於B事件發生的機率 根據條件機率的定義 A事件發生的條件下 B事件發生的機率 等於A發生的機率分之 A交集B發生的機率 因為A發生的機率大於0 等式兩邊同乘以A發生的機率 可推得A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘以B發生的機率 而當A發生的機率等於0時 上式亦成立 同理若在事件B發生的條件下 其中B發生的機率大於0 事件A發生的條件機率不受影響 則B交集A發生的機率 等於B發生的機率乘以A發生的機率 也就是說A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘以B發生的機率 根據上述 滿足A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘以B發生的機率時 我們稱事件A與B為獨立事件 兩事件獨立的定義 當兩事件A與B滿足 A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘以B發生的機率時 稱A與B為獨立事件 有時候單從字面的情境上 我們很難判斷兩事件是否獨立 因此利用上述定義來檢驗兩事件是否獨立 就會是一個不錯的方法 擲一粒公正骰子一次 觀察其點數 令A表示出現3點或6點的事件 B表示出現2點 3點或5點的事件 C表示出現5點或6點的事件 第題 A B是否為獨立事件 第題 A C是否為獨立事件 根據題意A發生的機率等於6分之2 等於3分之1 B發生的機率等於6分之3 等於2分之1 C發生的機率等於6分之2 等於3分之1 而A交集B發生的機率等於6分之1 A交集C發生的機率等於6分之1 第題 因為A發生的機率乘B發生的機率 等於3分之1乘以2分之1 等於6分之1 等於A交集B發生的機率 所以A與B為獨立事件 第題 因為A發生的機率乘C發生的機率 等於3分之1乘以3分之1 等於9分之1 不等於A交集C發生的機率 所以A與C不為獨立事件 由兩事件獨立的定義可知 兩獨立事件同時發生的機率 等於個別機率相乘 我們來看看下面這道題 若甲 乙兩種種子 根據過去栽種經驗 知道其發芽率分別為0.9與0.8 今從這兩種種子中各取一顆 假設各種子發芽與否相互獨立 試求 第題 兩顆種子都發芽的機率 第題 至少有一顆種子發芽的機率 假設A B分別表示甲 乙兩種種子發芽的事件 根據題意A發生的機率等於0.9 B發生的機率等於0.8 第題 因為A B為獨立事件 所以兩種種子都發芽的機率為 A交集B發生的機率 等於A發生的機率乘B發生的機率 等於0.9乘0.8等於0.72 第題 至少有一顆種子發芽的事件為A聯集B 利用取捨原理其機率為 A聯集B的機率 等於A發生的機率加B發生的機率 減掉A交集B發生的機率 等於0.9加0.8減0.72 等於0.98 事實上當A與B為獨立事件時 A'與B也是獨立事件 換言之 我們的目標是要證明A'交集B的發生機率 等於A'發生的機率乘以B發生的機率 其證明如下 由文氏圖可知 事件B可分割成 A交集B與A'交集B 兩個互斥事件的聯集 即B等於A交集B聯集A'交集B 且A交集B與A'交集B互斥 由機率的加法原理 B發生的機率等於A交集B發生的機率 加上A'交集B發生的機率 因此A'交集B發生的機率 等於B發生的機率 減掉A交集B發生的機率 又因為A與B為獨立事件 所以A交集B的機率等於 A發生的機率乘B發生的機率 因此上式等於 B發生的機率減掉A發生的機率 乘B發生的機率 將B發生的機率提出來 得到1減A發生的機率 乘上B發生的機率 等於A'發生的機率乘上B發生的機率 換言之 A'與B也是獨立事件 同理我們可推得 A與B'是獨立事件 且A'與B'也是獨立事件 同學們如果有興趣 不妨參考上面的做法 自己驗證看看喔 因此A與B為獨立事件 即代表A B兩事件發不發生 都不會互相影響 獨立事件的性質 若A與B為獨立事件 則有以下性質 1.事件A'與B為獨立事件 2.事件A與B'為獨立事件 3.事件A'與B'為獨立事件 利用獨立事件的性質 我們來看這個應用題 根據過去的紀錄 均均 酷客在罰球線投籃球投進的機率 分別為0.6和0.3 已知兩人各投一球 且兩人投進與否為獨立事件 求第題 兩球都沒進的機率 第題 至少進一球的機率 假設A B分別表示均均 酷客投進的事件 根據題意A的機率等於0.6 B的機率等於0.3 第題 因為A B為獨立事件 所以A' B'亦為獨立事件 因此兩球都沒進的機率為 A'交集B'的機率 等於A'的機率乘B'的機率 等於0.4乘0.7等於0.28 第題 至少有一球投進的事件為A聯集B 利用取捨原理其機率為 A聯集B的機率等於A發生的機率 加B發生的機率 減掉A交集B發生的機率 等於A發生的機率加B發生的機率 減掉A發生的機率乘B發生的機率 等於0.6加0.3減0.18等於0.72 第題也可用迪摩根定律 A聯集B的餘事件 等於A的餘事件交集B的餘事件 得到A聯集B發生的機率 等於1減A'交集B'發生的機率 等於1減0.28等於0.72 換言之至少進一球的機率 等於全部的機率減去兩球都沒進的機率 在這個單元中我們學到了 並從獨立的定義得知 另外我們也學到了 換言之 A與B為獨立事件 即代表兩事件發不發生 都不會互相影響 學完這個單元後 是否對獨立事件有更多的了解呢 別忘了要反覆地思考及複習喔 下一個單元我們將學習 如何利用列聯表判別兩事件是否獨立 敬請期待