在上個單元中

我們學到了獨立事件的定義及其性質

判斷兩事件A B是否獨立

除了利用上個單元學到的方法外

我們也可利用前面學過的

列聯表來判斷

當A事件發生時

B事件發生的機率

等於B事件發生的機率

也就是A的元素個數

分之A交集B的元素個數

等於S的元素個數

分之B的元素個數時

A B兩事件獨立

換言之當A交集B的元素個數

與A的元素個數的比值

和B的元素個數

與S的元素個數的比值相同時

A B兩事件獨立

反之當比值不相同時

兩事件不獨立

因此我們可透過觀察列聯表中

數字間的比例關係

來判斷兩事件是否獨立

來看看這道題目

表一為酷課高中籃球社的社員統計

表二為排球社的社員統計表

並依性別男 女

及年級高一 高二分類

設A B分別表示抽到男生

與抽到一年級學生的事件

試問

第題 從籃球社中隨機選取一人

則A B兩事件是否獨立

第題 從排球社中隨機選取一人

則A B兩事件是否獨立

第題由表一可知

32分之8等於40分之10

因此事件A與事件B為獨立事件

第題由表二可知

22分之6不等於40分之16

因此事件A與事件B不為獨立事件

想一想

當A與B為獨立事件時

列聯表中的各行 各列都成會比例嗎

假設A交集B的樣本點個數為a

A'交集B的樣本點個數為b

則B事件的樣本點個數為a加b

因為A與B為獨立事件

所以A的元素個數

分之A交集B的元素個數

等於S的元素個數

分之B的元素個數

假設其比值為t分之1

則A事件的樣本點個數為at

樣本空間的樣本點個數為

括號a加b乘以t

因此A'的樣本點個數為

括號a加b乘以t減at

等於bt

A交集B'的樣本點個數為at減a

等於a乘以括號t減1

A'交集B'的樣本點個數為bt減b

等於b乘以括號t減1

B'的樣本點個數為

括號a加b乘以t減括號a加b

等於括號a加b乘以括號t減1

我們發現如果A與B為獨立事件

那麼列聯表每一行的比例

都是a比b比括號a加b

換言之當A與B為獨立事件時

列聯表中的各行成比例

反之亦然

另一方面各列的比例皆為

1比t減1比t

所以各列也成比例

因此當A與B為獨立事件時

列聯表中的各行 各列都會成比例

我們來看這一道104年指考數乙的題目

某校數學教師針對高三學生

隨機選出30名男學生及20名女學生

做新教材適應性的調查

每一位學生都要填答

且只能填答適應或不適應

結果有35名學生填答

無法適應新教材內容

假設學生性別與適應狀況獨立

請完成下列表格

使其最能符合上述假設

根據題意有35人不適應

假設男生中不適應者有x人

則適應者有30減x人

女生中不適應者有35減x人

適應者有20減括號35減x

等於x減15人

因為性別與適應狀況獨立

所以從不適應的學生中選出男生的機率

等於從50位學生中選出男生的機率

換言之35分之x等於50分之30

約分後得到x等於21

因此不適應的男生人數是21人

適應的男生人數是9人

不適應的女生人數是14人

適應的女生人數是6人

這一題也可以利用

若兩事件為獨立事件時

則列聯表中的各行 各列成比例

這個想法來解

因為性別與適應狀況獨立

所以不適應的男生人數

比不適應的女生人數

等於男生人數比女生人數

也就是3比2

假設不適應的男生人數為3x

不適應的女生人數為2x

根據題意3x加2x等於35

所以x等於7

因此不適應的男生人數是21人

不適應的女生人數是14人

適應的男生人數是9人

適應的女生人數是6人

在這個單元中我們學到

當A與B為獨立事件時

列聯表中的各行 各列成比例

學完這個單元後

有沒有覺得用列聯表來判斷

兩事件是否獨立十分快速呢

別忘了要反覆地思考及複習喔