上個單元我們介紹了兩個集合的貝氏定理

設A 交集A 等於空集合

A 聯集A 等於S

則我們有

因此得到

等於

也可以將這個式子中的A 一起換成A

得到

這就是兩個集合A A 的貝氏定理

如果同學忘記了

請先去看前面的影片喔

如果是三個集合的貝氏定理

該如何理解呢

讓我們先來做個小測驗

回憶一下三個集合的取捨原理

取捨原理又稱排容原理

開始解題

將國文及格 英文及格 數學及格

分別叫做A B C三個集合

根據取捨原理

接下來我們來看三個集合的貝氏定理

設A A A 為樣本空間S的三個事件

且滿足A 的機率大於0

i等於1 2 3

當這三個事件滿足以下兩個條件

兩兩互斥

即A 交集A 等於空集合

其中i不等於j

A 聯集A 聯集A 等於S

我們把A A A 稱為樣本空間S的一組分割

貼心提醒同學兩兩互斥的意思就是

任兩個集合的交集為空集合喔

當A A A 為樣本空間S的一組分割

且B為S的一個事件時

B也會被分割成

A 交集B

兩兩互斥的這三個事件

B集合等於A 交集B的這個集合

然後聯集A 交集B的這個集合

然後再聯集A 交集B的這個集合

根據三個集合的取捨原理

B的機率等於A 交集B的機率

再加上A 交集B的機率

然後再減兩兩交集的機率

接下來我們搭配文氏圖說明比較清楚

深粉色交集深綠色是空集合

深綠色交集深藍色也是空集合

深藍色交集深粉色也是空集合

換句話說

這三個兩兩交集都是空集合

空集合的機率為0

所以減了三個0

最後再加上三個集合交集的機率

也就是從文氏圖來看

深粉色交集深綠色交集深藍色為空集合

空集合的機率為0

而0在算式中也可以省略不寫

換句話說

減3個0加1個0都省略沒寫了

所以得到

B發生的機率等於A 交集B的機率

加A 交集B的機率

那麼何謂貝氏定理呢

三個集合的貝氏定理

就是要找當B發生時A 發生的機率

或當B發生時A 發生的機率

我們透過文氏圖或樹狀圖求得機率

可知貝氏定理的計算並不難

事實上貝氏定理也相當生活化喔

在影片結尾將以新冠肺炎的例子作為說明

雖然解題過程用不到合格率

老師希望你知道A工廠產品合格率為百分之99

B工廠產品合格率為百分之98

C工廠產品合格率為百分之97

所以不合格的機率

等於A交集不合格的機率

加B交集不合格的機率

加C交集不合格的機率

等於A的機率乘以

當A發生時不合格的機率

加上B的機率乘以

B發生時不合格的機率

加C的機率乘以

C發生時不合格的機率

等於100分之30乘以100分之1

加100分之30乘以100分之2

加100分之40乘以100分之3

等於10000分之210

等於1000分之21

我們利用貝氏定理可以得到

當不合格時

在B發生的機率等於

不合格的機率分之B交集不合格的機率

等於不合格的機率分之B的機率

乘以當B發生時不合格的機率

等於10000分之210分之

100分之30乘以100分之2

等於7分之2

最後我們舉兩個新冠肺炎的例子

來說明貝氏定理應用廣泛的情況

以文氏圖說明

將S視為臺灣

22個縣市為臺灣的一組分割

B表示新冠肺炎確診的事件

從文氏圖可知

是確診者有一半以上住在雙北的地區

如果你住在雙北地區你的感覺如何呢

換句話說重症中O型的機率最小

A型的機率最大

可見貝氏定理應用廣泛喔

而貝氏定理的應用也相當生活化

同學們是不是覺得很有趣呢