這是大家熟悉的二元一次方程組 我們不難解出這個方程組恰有一組解 x等於2 y等於3 在平面上代表的幾何意義 就是兩直線相交於一點 我們想要利用學過向量的相關性質 給予這個方程組帶來不同的思考方式 在此之前 讓我們一起複習學過的幾個性質 在平面上若a向量與b向量 為兩個不平行的非零向量 c向量為平面上任一個向量 則存在唯一的一組實數x y 使得c向量可以被表示成 a向量與b向量的線性組合 在平面上給定兩實數x y 與兩向量 均有這個運算式 在平面上如果給定兩非零向量 a向量 b向量 若a 比a 等於b 比b 則a向量與b向量互相平行 若a 比a 不等於b 比b 則a向量與b向量不平行 請按下暫停試著完成這個小測驗 我們來看看這個二元一次方程組 這個方程組代表x與y同時要滿足 3x加4y等於18 與2x減y等於1這兩個式子 我們可以將兩式等號的左邊與右邊 分別配對成向量的表示法 此時就能將二元一次方程組 合併成一個向量的等式 根據向量坐標加法運算的性質 我們可以將等號左邊改寫成 向量3x 2x加上向量4y -y 利用向量坐標係數積的性質 我們可以繼續將等號左邊改寫成 x倍的向量加上y倍的向量 此時我們可以視為向量 與向量線性組合成向量 我們把二元一次方程組 轉換成向量的線性組合 反之我們也可以將向量的線性組合 轉換成二元一次方程組 若x y為方程組的解 那麼x y也會是線性組合的解 反之亦然 一般而言 我們可以將任意的二元一次方程組 對應到平面向量的線性組合 而方程組的解x y就是線性組合的解 反之亦然 接下來我們將利用平面向量線性組合 來討論二元一次方程組解的形式 在此之前 讓我們先做個簡單的小測驗吧 請按下暫停試著完成這個小測驗 令a向量等於 b向量等於 c向量等於 考慮線性組合為x倍的a向量 加上y倍的b向量 等於c向量 因為3比2不等於4比-1 所以a向量與b向量不平行 因此必能找到唯一的一組實數x與y 滿足上面的等式 又此線性組合的式子可以對應到方程組 3x加4y等於18 與2x減y等於1 也就是平面上不平行的兩直線 因此本方程組只有一組解 事實上這一組解為 x等於2 y等於3 一般而言我們將剛剛的討論做個小結 如畫面所示 令a向量等於 b向量等於 c向量等於 考慮線性組合為x倍的a向量 加上y倍的b向量 等於c向量 因為3比6等於2比4 所以a向量與b向量平行 又3比6等於2比4等於5比10 即c向量亦與a向量 b向量均平行 也就是能找到無限多組實數x與y 滿足上面的等式 又此線性組合的式子可以對應到方程組 3x加2y等於5 與6x加4y等於10 也就是平面上的兩重合直線 因此本方程組有無限多組解 一般而言我們將剛剛的討論做個小結 如畫面所示 令a向量等於 b向量等於 c向量等於 考慮線性組合為x倍的a向量 加上y倍的b向量 等於c向量 因為3比6等於2比4 所以a向量與b向量平行 又3比6不等於5比7 即c向量與a向量 b向量均不平行 也就是找不到實數x與y 滿足上面的等式 又此線性組合的式子 可以對應到方程組 3x加2y等於5 與6x加4y等於7 也就是平面上的兩平行直線 因此本方程組無解 一般而言我們將剛剛的討論做個小結 如畫面所示 請按下暫停試著完成這個小測驗 在這個單元中 我們了解到二元一次方程組 與平面向量的線性組合之對應關係 並以此觀點討論聯立方程組的解 只要二元一次方程組 代表平面上兩直線的關係 我們就能以係數比例的分類 整理成這個表格 表格中a 比a 不等於b 比b 表示a a 與b b 不成比例 也就是行列式之值不為0 表格中a 比a 等於b 比b 等於c 比c 表示a a 與b b 與c c 均成比例 也就是行列式之值均為0 表格中a 比a 等於b 比b 不等於c 比c 表示a a 與b b 成比例 但與c c 不成比例 也就是可以得到這些行列式的關係 我們將利用本單元所學習到的知識 在下個單元推導 二元一次方程組的克拉瑪公式 謝謝您的收看 我們下回見