畫面中的表格

整理出我們在上個單元中

學到二元一次方程組解的形式判定方法

如果我們已判斷出這個方程組

恰有一組解

則可以使用國中已學過的

代入消去法

或加減消去法

等方法來找出這組解

在這個單元中

我們將利用行列式推導出另一種

也能找出這一組解的方法

克拉瑪公式

給定二元一次方程組

我們定義希臘字母大寫DELTA

為方程組x與y的相對係數

所形成的行列式值

我們將DELTA中的x的係數a a

分別以等號右邊的常數c c 取代之

形成新的行列式值

記作DELTA x

類似地我們將DELTA中y的係數b b

分別以等號右邊的常數c c 取代之

形成新的行列式值

記作DELTA y

若DELTA不等於0

則此方程組有唯一解x與y

首先觀察DELTA x

我們運用行列式運算性質

將第一行的c 與c

分別替換成a x+b y

與a x+b y

再將第二行乘以括號-y加到第一行

再把第一行共同的x提出去

最後得到x倍的DELTA

接著觀察DELTA y

我們使用類似的操作

將第二行的c 與c

分別替換成a x+b y

與a x+b y

再將第一行乘以括號-x加到第二行

再把第一行共同的y提出去

最後得到y倍的DELTA

因為DELTA非零

所以得到了x等於DELTA分之DELTA x

y等於DELTA分之DELTA y

現在我們將剛剛推導出來的結果做個整理

事實上這就是著名的克拉瑪公式

用來直接求解二元一次方程組

當DELTA不等於0時

表示方程組恰有一組解x與y

DELTA代表解的分母

而DELTA x與DELTA y

則分別代表x與y的分子

克拉瑪公式是由瑞士數學家克拉瑪所提出

只要由方程組的係數

就能決定方程組的解

並使用精簡的符號來表示之

這樣的表示方法

看起來相當精簡又好記呢

現在我們來試著用剛學到的克拉瑪公式

求方程組的解

首先我們來計算DELTA之值

DELTA等於7乘以13減11乘以10

等於-19

因為DELTA不等於0

所以方程組恰有一組解

又DELTA x與DELTA y經計算後

分別得到-38與19

最後由克拉瑪公式得到

x等於2 y等於-1

代表在平面上兩直線恰交於一點

請按下暫停試著完成這個小測驗

在這個單元中

我們學會了利用DELTA不等於0

判斷二元一次方程組恰有一組解

並使用克拉瑪公式求解

這與國中時學過的代入消去法

加減消去法

你比較喜歡哪個方法

理由又是什麼

若DELTA等於0

則DELTA x DELTA y與方程式的解之間

又有什麼樣的關係呢

你曾經遇過更複雜一點的

三元一次方程組嗎

你有什麼樣的策略與方法進行求解呢

歡迎在影片下方

留下你的想法來跟大家分享

學會克拉瑪公式後

我們將在下一個單元介紹

三元一次方程組的求解方法

我們下次見