小均身上有1元 5元與10元

三種硬幣共12枚

總金額為73元

已知1元數量的3倍

加上5元數量的4倍

剛好是10元數量的5倍

試求小均身上的1元 5元與10元

三種硬幣各有幾枚

可設小均身上的1元 5元與10元

三種硬幣各有x y與z枚

依題意可以列出三個關係式

x加y加z等於12

x加5y加10z等於73

與3x加4y等於5z

移項整理後我們可以得到右邊的式子

像這樣由三個未知數所形成的

一次聯立方程式

我們稱為三元一次聯立方程式

在國中時我們曾經用加減消去法

求解二元一次方程式

現在我們面對更複雜的

三元一次聯立方程式

依然可以使用類似方法求解

先消去其中一個未知數

得到二元一次聯立方程式

解出兩個未知數的解之後

再代回原式求出第三個未知數

讓我們看一下剛剛的這個聯立方程式

先進行編號

接著利用加減消去法求解

首先將一式乘以-1

加上二式消去x

得到4y加9z等於61

將一式乘以-3

加三式消去x

得到y減8z等於-36

再由五式乘上-4加四式消去y

得到41z等於205

解得z等於5

代回五式得到y等於4

再代回一式得到x等於3

故聯立方程式的解為

x等於3 y等於4 z等於5

讓我們回到一開始的題目

經過加減消去法解三元一次聯立方程式後

得到1元 5元與10元三種硬幣

分別為3 4 5枚

請按下暫停試著完成這個小測驗

讓我們試著解這個三元一次聯立方程式

先進行編號

接著利用加減消去法求解

首先將一式乘以-3加二式消去x

得到-5y加5z等於0

將一式乘以-2加三式消去x

得到y減z等於1

再由四式除以5加上五式消去y

得到0等於1

然而這是個矛盾的式子

故本聯立方程式無解

我們再試著解這個三元一次聯立方程式

先進行編號

接著利用加減消去法求解

首先將一式乘以-3加二式消去x

得到2y減2z等於2

將一式乘以-2加三式消去x

得到y減z等於1

再由四式除以2減五式消去y

得到0z等於0

因為任意實數z都滿足這個式子

所以令z等於t代入五式

得y等於1加t

代回一式得x等於2加2t

因此本聯立方程式的解為

x等於2加2t

y等於1加t

z等於t

其中t為實數

即本聯立方程式有無限多組解

請按下暫停試著完成這個小測驗

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在這個單元中

我們使用加減消去法

解三元一次聯立方程式

下個單元我們將介紹

高斯消去法解之

謝謝您的收看

我們下次見