本節將介紹高斯消去法

來求解三元一次聯立方程組

給定三元一次聯立方程組

並將方程式分別編號

我們來看幾個重要的基本操作

若將第1式與第3式對調

因為方程式呈現的順序

不會改變原方程式的解

所以新方程組與原方程組

有相同的解

若將第1式乘以3

因為方程式乘以非零的實數

並不會改變方程式的解

所以新方程組與原方程組

有相同的解

若將第1式加到第2式

並稱為第4式

得到新方程組

若將新方程組中的第1式

乘上-1後加到第4式

即可還原回原方程組

一般而言

像這樣將兩式相加減後得到的新方程組

與原方程組有相同的解

在剛剛的討論中

可以整理成以下三種基本操作

都不會影響三元一次聯立方程組的解

將某兩個方程式對調

將某個方程式乘上一個非0的實數

將某個方程式乘上一個非0的實數後

加到另一個方程式

我們將利用剛學到的三種基本操作

進一步介紹高斯消去法

給定三元一次聯立方程組並編號

步驟一

將第1式乘以-1並加到第2式

消去x項

可得第4式

同樣地將第1式乘以-3加到第3式

消去x項

可得到第5式

因為這些動作都是基本操作

所以新方程組與原方程組

有相同的解

為了方便運算

將第4式與第5式對調

再將第5式乘以-4加到第4式

消去y項

可得第6式

因為這些動作都是基本操作

所以新方程組與原方程組

也有相同的解

步驟二

從第6式先解出z等於5

再倒回來代入第5式求出

y等於4

最後再倒回來代入第1式

求出x等於3

像這樣分兩大步驟

先消去兩個方程式的x項

消去一個方程式的y項

最後再倒回求解的過程

稱為高斯消去法

接著讓我們來做個小測驗吧

請按下暫停試著完成這個小測驗

我們來看看另一個三元一次聯立方程組並編號

步驟一 為了方便運算

先將第1式與第2式對調

將第2式乘以-3後加到第1式

消去x項

可得第4式

將第2式乘以-2後加到第3式

消去x項

可得第5式

為了方便運算將第4式乘以2分之1

可得第6式

將第6式乘以-3加到第5式

消去y項

可得第7式

步驟二 倒回求解

第7式中0z等於0

代表z有無限多組解

令z等於t

倒回代入第6式

解出y等於2t減1

繼續倒回代入第2式

解出x等於t加3

即本方程組有無限多解

接著我們來看範例3

將三元一次聯立方程組並編號

步驟一

將第1式乘以-3後加到第2式

消去x項

可得第4式

將第1式乘以-1後加到第3式

消去x項

可得第5式

接著將第4式乘以2後

加到第5式消去y項

可得第6式

步驟二 倒回求解

在第6式中

因為0z等於-2無實數解

因此本方程組無實數解

請按下暫停試著完成這個小測驗

高斯消去法求解三元一次聯立方程組

分成兩大步驟

步驟一 使用基本操作

先消去兩個方程式的x項

再消去一個方程式的y項

步驟二 倒回依序解出z y x

高斯與阿基米德 牛頓

並列世界上三大數學家

此外高斯也是物理學家

天文學家

大地測量學家

並享有數學王子的美譽

其傑出的貢獻

曾於1999年由德國將其肖像

印製於10馬克的紙鈔上

高斯消去法是用來為線性方程組

求解的一個演算法

該方法以數學家卡爾 高斯命名

但最早出現於中國古籍 九章算術

成書於約公元前150年

我們已經知道高斯消去法

求解三元一次聯立方程組的基本概念

你有什麼方法可以求解n元一次聯立方程組

歡迎分享並留下你的想法

在這個單元中

我們學到了有系統的高斯消去法

來求解三元一次聯立方程組

在下個單元中

我們將改良高斯消去法

達到更簡便的求解過程哦