上一個單元中 我們已經學會 以高斯消去法解三元一次聯立方程組 接下來在這個單元裡 我們將引入矩陣來簡化高斯消去法 讓我們複習一下加減消去法 解三元一次聯立方程組的過程 先進行編號後 將1式乘以-1加2式 消去x 並將1式乘以-3加3式 消去x 得到4式 5式兩式 再由5式乘以-4加4式 消去y 得到41z等於205 解得z等於5 代回5式得y等於4 再代回1式得x等於3 故聯立方程式的解為 x等於3 y等於4 z等於5 剛剛在使用高斯消去法 求解的整個過程中 我們發現一直重複書寫的 x y z等變數以及等號 如果將其省略掉 看看能否得到較精簡的操作過程呢 首先我們只寫下方程組內所有x y z的9個係數 以類似矩形表格的形式 依序對應寫入一個中括號內 我們稱為係數矩陣 若連同等號右邊的常數項也寫下來 我們稱為增廣矩陣 習慣上會在增廣矩陣加一條鉛直線 便於區分係數與常數項 接著把聯立方程組中的方程式依序編號 我們將橫向排列的數字稱為列 由上到下依次稱為第1列 第2列 第3列 其中增廣矩陣的第1 2 3列 分別對應的就是聯立方程組中的第1 2 3式 縱向排列的數字稱為行 由左到右依次稱為 第1行 第2行 第3行 第4行 分別對應的就是聯立方程組中的 x項係數 y項係數 z項係數 常數項 像這樣整齊排列成表格的形式 寫入中括號內 我們稱為矩陣 關於矩陣的完整概念與相關性質 將於後面的影片中會有進一步的介紹 請按下暫停 試著完成這個小測驗 接下來讓我們看一個範例 示範如何利用矩陣來重新詮釋 高斯消去法的過程 給定三元一次聯立方程組並編號 相對的我們可以把方程組以增廣矩陣表示之 步驟一 將第1式乘以-1並加到第2式 消去x項 可得第4式 同樣地將第1式乘以-3加到第3式 消去x項 可得到第5式 相對的將矩陣第1列乘以-1並加到第2列 接著將第1列乘以-3加到第3列 此時矩陣中產生的兩個數字0 代表消去兩個方程式的x項 為了方便運算 將第4式與第5式對調 相對的就是將矩陣第2列與第3列對調 將第5式乘以-4加到第4式 消去y項 可得到第6式 相對的我們將矩陣第2列乘以-4加到第3列 此時矩陣中產生的一個數字0 代表消去一個方程式的y項 步驟二 從第6式先解出z等於5 再倒回來代入第5式求出y等於4 最後再倒回來代入第1式求出x等於3 相對的我們把最後一個增廣矩陣 重新寫成對應的方程組 並倒回求解 依序可解得 z等於5 y等於4 x等於3 也就是本方程組有唯一解 x等於3 y等於4 z等於5 使用矩陣列運算來操作高斯消去法 求解三元一次聯立方程組 分成兩大步驟 步驟一 使用矩陣列運算 先消去第2列與第3列的x項 再消去第3列的y項 步驟二 倒回依序解出z y x 一般而言經過一連串的矩陣列運算後 只要使左上到右下這條對角線 下方三個數字為0 且a ' b ' c '均不為0 則原方程組有唯一解 請按下暫停 試著完成這個小測驗 試利用高斯去法的矩陣列運算 解三元一次聯立方程式 首先將方程組寫成增廣矩陣 步驟一 我們可以將第1列乘以-3分之1後 加到第2列 消去x項 將第1列乘以-3分之2後 加到第3列 消去x項 雖然可以繼續操作下去 但大量的分數四則運算 容易造成計算錯誤的風險 為了降低風險 在消去兩個方程式的x項係數之前 我們改成先將第1列與第2列對調 步驟一 將第1列乘以-3後加到第2列 消去x項 將第1列乘以-2後加到第3列 消去x項 接著將第2列乘以-2分之3後加到第3列 消去y項 將最後一個增廣矩陣 重新寫回對應的方程組 步驟二 倒回求解 0z等於0代表z有無限多解 令z等於t 倒回代入前一式 解出y等於2t減1 繼續倒回代入第一式 解出x等於t加3 即本方程組有無限多解 步驟一 使用矩陣列運算 先消去第2列與第3列的x項 再消去第3列的y項 步驟二 倒回依序解出z y x 一般而言經過一連串的矩陣列運算後 只要使某一列全為0 則原方程組有無限多解 試利用高斯消去法的矩陣列運算 解三元一次聯立方程式 首先將方程組寫成增廣矩陣 步驟一 將第1列乘以-3後加到第2列 消去x項 將第1列乘以-1後加到第3列 消去x項 接著將第2列乘以2後加到第3列 消去y項 將最後一個增廣矩陣重新寫回對應的方程組 步驟二 倒回求解 在最後一式中 因為0z等於-2無解 因此本方程組無解 步驟一 使用矩陣列運算 先消去第2列與第3列的x項 再消去第3列的y項 步驟二 倒回依序解出z y x 一般而言經過一連串的矩陣列運算後 只要使某一列中 直線左方數字全為0 且直線右方數字d '不為0 則原方程組無解 請按下暫停 試著完成這個小測驗 我們已經知道使用矩陣列運算 來簡化高斯消去法 求解三元一次聯立方程組的基本概念 你是否也能使用矩陣列運算 來求解n元一次聯立方程組 歡迎分享並留下你的想法 在這個單元中 我們學會使用矩陣列運算 來操作高斯消去法 求解三元一次聯立方程組 是否有感受到其便利性呢 我們下次見