我們曾經學過

在同一個平面中

若a向量與b向量

為兩個不平行的非零向量

c向量為此平面上的任一向量

則c向量可以唯一表示成

a向量與b向量的線性組合

即c向量等於xa向量加yb向量

其中x y為實數

且隨著c向量而唯一決定

現在我們將試著推廣到空間中

看看是否有類似的性質

在此之前讓我們先做個練習

在空間中給定四個向量

d向量等於

a向量等於

b向量等於

c向量等於

試判斷d向量是否能表示成

a向量 b向量 c向量的線性組合

設d向量等於xa向量加yb向量加zc向量

其中x y z均為實數

將坐標向量代入後可得

從x分量中可得

x加2y加2z等於3

從y分量中可得

2x加y加4z等於12

從z分量中可得

-3x減2y加z等於-3

接下來我們可以使用

高斯消去法的矩陣列運算進行求解

首先我們將方程組以增廣矩陣表示之

將第一列乘以-2加到第二列

再將第一列乘以3加到第三列

消去x項

接著將第二列乘以3分之4加到第三列

消去y項

最後倒回求解

依序可解得

z等於2 y等於-2 x等於3

即方程組有唯一解

x等於3 y等於-2 z等於2

也就是d向量等於

3a向量減2b向量加2c向量

因此d向量可以唯一表示成

a向量 b向量 c向量的線性組合

給定三元一次聯立方程組

則方程組可以改寫成

向量的線性組合形式

並且可以有以下結論

若方程組有唯一解

則d向量可以唯一表示成

a向量 b向量 c向量的線性組合

若方程組有無限多組解

則d向量有無限多種方式可以表示成

a向量 b向量 c向量的線性組合

若方程組無解

則d向量無法表示成

a向量 b向量 c向量的線性組合

接下來讓我們來做個小測驗吧

在空間中若要判斷d向量

是否能唯一被表示成

a向量 b向量 c向量的線性組合

可以找對應三元一次聯立方程組

是否有唯一解

事實上對於任意向量d向量

能唯一被表示成a向量 b向量 c向量

的線性組合的充要條件為

a向量 b向量 c向量為不共面的非零向量

在這裡我們提供一種證明方法如下

設d向量等於xa向量加yb向量加zc向量

其中x y z是唯一的解

我們將此式等號的左右兩邊

同時對a向量cross b向量作內積

得到式子如畫面所示

接著使用向量的分配律展開

因為a向量cross b向量垂直a向量

所以a向量cross b向量

與a向量的內積為0

同理因為a向量cross b向量垂直b向量

所以a向量cross b向量

與b向量的內積亦為0

因此我們可以化簡成

z乘以括號a向量cross b向量‧c向量

因為z是唯一解

所以括號a向量cross b向量‧c向量

不等於零

即a向量 b向量 c向量

所張出的平行六面體體積不為零

也就是a向量 b向量 c向量

為不共面的非零向量

反之亦成立

請想想看為什麼反之亦成立呢

歡迎留言提供你的想法哦

因為a向量 b向量 c向量

為不共面的非零向量

即a向量 b向量 c向量

所張出的平行六面體體積不為零

也就是形成的三階行列式值不為0

其中a向量等於

b向量等於

c向量等於

原來空間向量線性組合的唯一性

竟然可以跟以前所學過的

三階行列式有關

是不是長知識了呢

在這個單元中

我們學到了空間中向量的線性組合

與三元一次方程組之間

轉換的對應關係

並使用高斯消去法的矩陣列運算求解

矩陣除了可以使用在高斯消去法

求解聯立方程組

其實還有很多值得研究與學習的知識

下個單元將正式揭開矩陣的神秘面紗

我們下次見