前一單元已說過 矩陣的概念有二 1.是矩陣由n個m乘以1階的 行向量擴充而得 這單元要由向量加法推導矩陣加減法原理 2.是將數據表格抽象化得到矩陣概念 這單元要利用資料表上解讀矩陣加減法的意義 例如在數位影像中若採灰階圖像 灰階圖像是指每個像素 可以由0黑到255白的亮度值表示 那麼若由矩陣對應下圖的 3乘以5寬乘以長的格像素的圖形 此矩陣為何呢 顯然是由五個3乘以1階的矩陣 即行向量所組成的3乘以5階的矩陣 提示 先利用平行四邊形法 或三角形法求得向量PO與向量QO之和 解答 將向量PO平移 使得向量PO等於向量OR 則利用三角形法 求得向量PO與向量QO之和 為向量QR 再考慮與向量QR相反方向的向量 即向量CO 故選 接下來我們要介紹矩陣加減法原理 就以幾何觀點來看這些行向量的加法 考慮二維行向量 向量v等於2 3 與向量w等於4 -1 在直角坐標上來看 這兩個向量v與向量w 通常考慮位置向量 即兩向量的起點放置原點O 向量w的起點平移至向量v的終點 即採三角形法 得到新的向量 向量v加向量w等於向量OA 此向量OA坐標為) 如此以來 數字表格裡的兩個行向量加法為 向量v加向量w 等於2 3加4 -1 等於2加4 3加-1 即表格裡的數字在相同位置的元相加 考慮m維行向量 向量v等於a a 一直到a 是m乘1階的向量 向量w是a a 一直到a 是m乘1階的向量 則兩個行向量加法也是表格裡的數字 在相同位置的元相加 即向量v加向量w 等於a a 一直到a 加上a a 一直到a 等於a 加a a 加a 一直到a 加a 既然矩陣的概念是行向量的擴充 當然就符合行向量加法性質 在相同位置的元相加 例如若兩個2乘以2階的矩陣 1 2 3 4及5 6 7 8 則兩個矩陣加法為 1 2 3 4加5 6 7 8 等於1加5 2加6 3加7 4加8 等於6 8 10 12 考慮更一般矩陣加法的定義 設A等於a 及B等於b 皆為m乘以n階的矩陣 則兩矩陣A與B的和為 A加B等於a 加b 等於a 加b a 加b 一直到a 加b a 加b 一直到a 加b 依此類推一直到a 加b a 加b 一直到a 加b 但特別注意階數相同的矩陣 可以做加法運算 甚麼是階數相同呢 就是列數相等及行數相等 例如 注意1 2加3 4 5 一個是1乘2階一個是3乘1階 無法相加 列數及行數均不相等 底下兩個矩陣列數及行數均相等 所以可以相加 1 2 3 4 5 6 7 8 9 是3乘3階的矩陣 3 4 6 7 2 5 9 8 1 也是3乘3階的矩陣 相加等於1加3 2加4 3加6 4加7 5加2 6加5 7加9 8加8 9加1 等於4 6 9 11 7 11 16 16 10 接下來利用矩陣相加 來解讀資料表上代表的意義 舉例說明 下面兩表為某房屋仲介公司 一月與二月代銷成交的房屋數量統計表 試求一月及二月的累積銷售量統計表 解答 以矩陣的形式記錄上面兩個資料表 依題意表以矩陣的形式表示得 A等於2 3 1 4 7 2 表以矩陣的形式表示得 B等於2 5 2 3 5 3 故一月及二月的累積銷售量為 A加B等於2 3 1 4 7 2 加上2 5 2 3 5 3 等於4 8 3 7 12 5 以表格表示即如下表 在數論上若x加y等於0 則稱y為x的加法反元素 或稱相反數 即y等於-x 例如2加-2等於0 則-2為2的加法反元素 因此矩陣中每個數字必存在加法反元素 若A為一個m乘以n階的矩陣 考慮矩陣A的每個元之加法反元素 得到一個新的矩陣 稱此矩陣為A的加法反矩陣 記作-A 例如 因為1 2 3 4 加上-1 -2 -3 -4 等於0 0 0 0 所以1 2 3 4 與-1 -2 -3 -4 互為加法反矩陣 且-1 -2 -3 -4 等於負的1 2 3 4 簡單來說 將矩陣A的每一個元都乘以-1得到矩陣-A 現在由矩陣的加法及加法反矩陣 矩陣減法的定義為 設A等於a 及B等於b 皆為m乘以n階的矩陣 則兩矩陣A與B的差為 A減B等於A加上-B 等於a 加上-b 等於a 減b a 減b 一直到a 減b a 減b 一直到a 減b 依此類推 a 減b 一直到a 減b 簡言之矩陣減法就是在相同位置的元相減 矩陣加法具有以下的性質 交換律 A加B等於B加A 結合律 括號A加B加C 等於A加括號B加C 加法單位元素 A加零矩陣等於零矩陣加A 等於A 加法反元素 A加-A等於-A加A等於零矩陣 以上的到性質都非常直觀容易證明 不妨試著證證看 注意矩陣減法不具有交換律性質 舉例說明 設A等於1 2 3 4 5 6 及B等於2 5 2 3 1 3 則A減B等於A加-B 等於1 2 3 4 5 6 加-2 -5 -2 -3 -1 -3 等於-1 -3 1 1 4 3 且B減A等於B加-A 等於2 5 2 3 1 3 加上-1 -2 -3 -4 -5 -6 等於1 3 -1 -1 -4 -3 故A減B不等於B減A 各位同學 事實上矩陣在數學上常是當成工具或應用 經常被忽略矩陣的理論基礎 若能從向量來看矩陣加法的概念 自然理解矩陣加法運算的緣由 這個理論基礎 就是初等線性代數的發展思維 此外還有一個基本運算 即係數積 在下個單元介紹 請各位拭目以待喔