前一個單元介紹矩陣的加減法 現在要介紹矩陣的係數積 什麼是矩陣的係數積呢 就是矩陣的純量倍數 簡單來說 用一實數來乘上一個矩陣 如果矩陣A等於a b c d 乘上5 不妨寫成5A 則5A等於A加A加A加A加A 對應元相加得到矩陣5a 5b 5c 5d 所以5A就是把矩陣A的每一個元都乘上5倍 即5A等於5a 5b 5c 5d 因此得到矩陣的係數積概念 rA的每個元 等於矩陣A上的每個元都乘上r倍 這概念是直觀但太勉強了 如若乘上不是整數的數字 rA無法拆成數個A相加 就無法用矩陣的加法來看 這裡提供另一觀點來看 是向量觀點來看矩陣的係數積 馬上介紹哦 舉例說明 臺北市某建築公司 每月均需採購水泥 砂石及鋼筋 根據合約內容1到10月需向花蓮 以A表示 11到12月需向高雄 以B表示 等兩地採購 每個月這些材料的成本及運輸費用 分別用下列矩陣A與矩陣B直接表示 試用矩陣表示出這家建築公司 一年從兩地採購 每一種材料的全部成本及運輸成本 解答 依照題意知道 1到10月需向花蓮採購的材料成本 及運輸費用就是矩陣10A 算式如下 11到12月需向高雄採購的材料成本 及運輸費用就是矩陣2B 算式如下 故一年從兩地採購 每一種材料的全部成本及運輸成本為 10A加2B 算式如下 解答 作圖如下 由向量的三角形法知 向量PQ等於向量PR加向量RQ 進一步由向量觀點來看矩陣的係數積 如同前一單元矩陣的加法概念介紹 讓我們複習一下 既然矩陣的概念是行向量的擴充 就符合行向量加法性質 在相同位置的元相加 舉例說明 若兩個2乘以2階的矩陣 1 2 3 4及5 6 7 8 則兩個矩陣加法為對應元相加 算式如下 現在考慮二維行向量 V向量等於2 3 乘以一個實數 這數可以是2 此向量長度即為向量V伸長為2倍長 或乘以2分之1 此長度為向量V的壓縮為2分之1倍長 然而如果乘以-2 此向量反向且長度為向量V伸長為2倍長 這個伸長或壓縮 甚至使向量反向的過程 稱為向量的純量乘法 簡稱為向量的係數積 乘上的數字2 2分之1 -2 稱為純量 有趣地整個線性代數中 所有數字幾乎都是純量乘法 同學到了大學時再詳談哦 既然矩陣的概念是由行向量的擴充 就符合行向量的係數積性質 即考慮表格裡的數字乘上一個實數純量 舉例說明 若矩陣1 2 3 4及一個實數2 則矩陣係數積為 每一個元都乘上2倍 考慮更一般矩陣係數積的定義 設r為實數且A等於aij 為m乘n階的矩陣 則rA也為一個m乘以n階的矩陣 且rA等於矩陣A每一個元aij都乘上r 則rA稱r與A的係數積 現在就來驗證矩陣的3個係數積性質 以下證明不難同學們思考一下 矩陣的係數積具有下列五個基本性質 設r s為實數且A B為階數相同的兩個矩陣 則r乘以括號A加B等於rA加rB 括號r加s乘以A等於rA加sA 括號rs乘以A等於r乘以括號sA 0A等於0矩陣 括號-1乘以A等於-A 一般而言不難理解以上性質 證明部分同學們自行練習哦 解聯立矩陣方程組 與一般解聯立方程組 作法是相同的 設二階方陣A B 滿足A加2B等於-1 4 -3 3 2A減B等於-2 3 4 1 則二階方陣A等於多少 解答 設A加2B等於-1 4 -3 3為一式 且2A減B等於-2 3 4 1為二式 由一式加二式乘以2得 5A等於-5 10 5 5 故矩陣A等於-1 2 1 1 在線性代數發展史中 行列式和矩陣理論一直有著密切的關係 當十九世紀矩陣引入後 層出不窮的行列式性質因而被發現 使得行列式的發展逐漸趨完善 我們將矩陣A的行列式記作det 設與為平面上的兩個向量 考慮矩陣A等於a c b d 則矩陣A的行列式的絕對值 為與所張的平行四邊形面積 記作det的絕對值 等於a c b d的絕對值 如圖中平行四邊形O P Q R 與平行四邊形O S T R的面積 分別為a c b d與ka c kb d 而平行四邊形O S T R的面積 顯然為平行四邊形O P Q R面積的k倍 即ka c kb d等於k乘以a c b d 故向量的長度伸縮k倍 對應的平行四邊形面積亦等比例改變 因此ka hc kb hd等於kh乘上a c b d 注意若矩陣A的係數積rA 每個元都乘上r倍 而矩陣rA的行列式 每一行都提出r倍 所以rA的行列式 為A的行列式的r平方倍 同學們以上兩者是不同的概念喔