前面單元提到將數字有次序的組合方法就是矩陣 那麼矩陣運算有那些呢 前面單元學過矩陣相加 相減 及係數積等運算 這單元我們要學習矩陣相乘的基本概念 前面單元學過矩陣加法 減法 及係數積的運算方式是簡單 它們共通點都是對應元一個一個來看 如圖所示 如1加2等於3 1減2等於-1 2乘以1等於2 矩陣相乘運算比較特別 並不是對應元一個一個來看哦 它卻是一列一列來看 或者一行一行來看 前者簡稱列觀點 可視為向量內積的運算 後者簡稱行觀點 底下實例利用列觀點及行觀點 來解讀資料表上的不同呈現方式 這正是矩陣相乘概念 現在舉同學們熟悉的實例 如表1所示為國文 英文及數學 三科的學期成績 先利用列觀點來計算 由表1可知 國文學期成績為 80乘以百分之30 加90乘以百分之30 加75乘以百分之40 英文學期成績為 70乘以百分之30 加60乘以百分之30 加65乘以百分之40 數學學期成績為 75乘以百分之30 加80乘以百分之30 加85乘以百分之40 用矩陣表達方式如上計算 設國文 英文及數學三科的成績對應矩陣為A 80 90 75 70 60 65 75 80 85 國文 英文及數學三科的成績占比對應矩陣為B 百分之30 百分之40 且AB等於C 等於C C C C 可看作A的第1列與B的第1行 作類似向量內積的運算 即C 等於80乘以百分之30 加90乘以百分之30 加75乘以百分之40 C 可看作A的第2列與B的第1行 作類似向量內積的運算 即C 等於70乘以百分之30 加60乘以百分之30 加65乘以百分之40 C 可看作A的第3列與B的第1行 作類似向量內積的運算 即C 等於75乘以百分之30 加80乘以百分之30 加85乘以百分之40 所以AB等於矩陣80 90 75 70 60 65 75 80 85 乘以矩陣百分之30 百分之30 百分之40 等於C 因此用矩陣表達國文 英文及數學三科的學期成績為 矩陣80 90 75 70 60 65 75 80 85 乘以矩陣百分之30 百分之30 百分之40 等於 得到矩陣中 第一列為國文學期成績 第二列為英文學期成績 第三列為數學學期成績 接著利用行觀點來計算 由表1可知 國文 英文及數學三科的學期平時成績為 百分之30乘以矩陣80 70 75 等於矩陣百分之30乘以80 百分之30乘以70 百分之30乘以75 國文 英文及數學三科的學期期中考成績為 百分之30乘以矩陣90 60 80 等於矩陣百分之30乘以90 百分之30乘以60 百分之30乘以80 國文 英文及數學三科的學期期末考成績為 百分之40乘以矩陣75 65 85 等於矩陣百分之40乘以75 百分之40乘以65 百分之40乘以85 顯然上述矩陣相加 即為國文 英文及數學三科的學期成績為 得到矩陣中 第一列為國文學期成績 第二列為英文學期成績 第三列為數學學期成績 美妙地以上兩種觀點得到的結果是相同的 但得到兩種不同的矩陣乘法運算方式 這也代表資料表上的不同解讀方式的呈現 同學們思考一下 哪一個觀點對你而言比較能理解呢 前面實例中由列觀點得到 當3乘以3階矩陣A 與3乘以1階矩陣B 相乘等於3乘以1階矩陣C時 矩陣C的階數等於3乘以1 等於矩陣A的列數 乘以矩陣B的行數 所以兩矩陣A與B相乘時 矩陣A的行數必須等於矩陣B的列數 矩陣A乘以B才有意義 再利用另一個實例來探討矩陣相乘概念 這裡僅利用行觀點來計算 某人若規劃暑假到日本及韓國 自助旅遊10日 每日的食 住宿 交通費用 預估如表2所示 目前他規劃兩個行程 甲與乙方案如表3所示 我們若利用行觀點來計算 由上表可知 若採用甲方案 各項費用為 食 4乘以2000加6乘以1500 住宿 4乘以4000加6乘以3000 交通 4乘以1000加6乘以500 各項費用可用矩陣表達方式如上計算 4乘以矩陣2000 4000 1000 加6乘以矩陣1500 3000 500 等於矩陣4乘以2000加6乘以1500 4乘以4000加6乘以3000 4乘以1000加6乘以500 事實上可以更簡化 矩陣2000 1500 4000 3000 1000 500 乘以矩陣4 6 得到矩陣中 第一列為甲方案中食的費用 第二列為甲方案中住宿的費用 第三列為甲方案中交通的費用 同樣地當考慮採用乙方案時 食 3乘以2000加7乘以1500 住宿 3乘以4000加7乘以3000 交通 3乘以1000加7乘以500 各項費用可用矩陣表達方式如上計算 3乘以矩陣2000 4000 1000 加上7乘以矩陣1500 3000 500 等於矩陣3乘以2000加7乘以1500 3乘以4000加7乘以3000 3乘以1000加7乘以500 事實上可以更簡化 矩陣2000 1500 4000 3000 1000 500 乘以矩陣3 7 得到矩陣中 第一列為乙方案中食的費用 第二列為乙方案中住宿的費用 第三列為乙方案中交通的費用 我們可以用如下矩陣表示甲方案與乙方案各項費用 注意若用列觀點來計算 得到的結果是相同的 同學們若用列觀點來計算 資料表上的解讀為何 思考一下哦 同學們這單元透過實例描述矩陣相乘概念 概念是一列一列 或一行一行來看 應用於實例中 你有解讀出資料表上代表不同的意義了嗎 有趣地結果都是相同的 這正是矩陣乘法的奧秘 注意矩陣的乘法 不僅僅是一個抽象的數學操作而已 事實上它具有深遠的意涵 慢慢理解它哦 下一個單元就要定義矩陣的乘法 另外矩陣乘法有許多應用範疇 等待我們去探索喔