前一單元利用實例說明矩陣相乘概念 運算方式有二種 一是一列一列來看 簡稱列觀點 另一個是一行一行來看 簡稱行觀點 這單元我們以熟悉列觀點的矩陣相乘概念為主 現在利用前一單元的例子說明 表1為前一個單元介紹的例子 是指國文 英文及數學三科的學期成績 利用列觀點來表達英文學期成績 可視為兩向量70 60 65 與百分之30 百分之30 百分之40 內積的運算所得到的結果 列式如圖所示 得到英文學期成績為 70乘以百分之30 加60乘以百分之30 加65乘以百分之40 等於65分 這種矩陣相乘運算方式 是高中階段最常見的方式 矩陣相乘最重要的方法 是一般矩陣乘積 前面例子是特殊化的情形 列觀點擴充為一般矩陣乘積 AB等於C而言 皆可利用列觀點表示矩陣相乘運算 給定4乘以3階矩陣A 及3乘以5階矩陣B相乘 考慮矩陣A中第2列的元 視為向量a a a 且矩陣B中第4行的元 視為向量b b b 這兩個向量作內積 得到矩陣C中第2列第4行的元C 即a 乘b 加a 乘b 等於C 依照這樣的方式得到矩陣C等於 4乘5階的矩陣C 的所有元C 由上圖所示可推得矩陣相乘有意義的條件 矩陣A的行數必須等於矩陣B的列數 矩陣AB才有意義 且m乘以p階的A矩陣 乘上p乘以n階的B矩陣 等於m乘以n階的C矩陣 例如給定2乘以3階矩陣A 等於1 2 -1 0 1 -2 且3乘以2階的矩陣B 等於1 2 -1 1 2 0 所以乘積AB是2乘以2階矩陣如下 矩陣1 2 -1 0 1 -2 乘上矩陣1 2 -1 1 2 0 等於 等於矩陣-3 4 -5 1 若考慮三個矩陣相乘有意義的條件為 矩陣A的行數必須等於矩陣B的列數 並且矩陣B的行數也必須等於矩陣C的列數 矩陣A乘以B乘以C才有意義 如圖所示 考慮數個矩陣相乘有意義的條件則是 前一個矩陣的行數 等於後一個矩陣的列數 當A為方陣時 定義A的平方等於AA A的三次方等於A的平方A A的四次方等於A的三次方A 依此類推 A的n次方等於A的n減1次方乘A 其中n為自然數 例如設矩陣A等於1 2 0 1 試求A的平方 A的三次方 A的四次方 一直到A的n次方 依題目條件及矩陣乘法定義得知 矩陣A的平方求得 等於矩陣1 4 0 1 其中4等於2乘以2 矩陣A的三次方求得 等於矩陣1 6 0 1 其中6等於2乘以3 矩陣A的四次方求得 等於矩陣1 8 0 1 其中8等於2乘以4 依上述規律得知矩陣A的n次方 答案揭曉是 給定任何實數x均滿足 x乘以1等於1乘以x等於x 將1稱為乘法單位元素 現在我們關心 是否存在某矩陣能滿足 任何矩陣與其相乘 皆等於自己本身呢 這樣特殊的矩陣是存在的 特別將此矩陣稱為單位方陣 若單位方陣為n階方陣 我們通常將其記作In 在不至混淆的情況下 也可簡單記成I 具體來說給定任一方陣A 則方陣A乘上單位方陣I後 使得AI等於A等於IA 現在好奇什麼樣方陣為單位方陣呢 姑且考慮二階方陣I為1 0 0 1 底下就來證明對於任意二階方陣A 是否皆滿足AI等於A等於IA呢 給定矩陣A等於a b c d 及二階單位方陣I等於1 0 0 1 試證AI等於A等於IA 證明 所以AI等於A等於IA 因此可知I即為二階單位方陣 此二階單位方陣I的特徵為 第一點 矩陣中左上到右下的對角線 稱之為主對角線上的元均為1 第二點 主對角線外的元均為0 此特徵可延伸至定義一般的n階單位方陣In 例如單位方陣I I I I 表示法如上 皆是主對角線上的元為1 其餘的元為0 若A是n乘以n階矩陣 則AIn等於InA等於A 注意此時矩陣的乘法滿足交換律 在下一單元會有更詳細的 矩陣的乘法交換律性質介紹 學習矩陣乘法有很多的應用 比如說傳遞秘密訊息 將訊息轉為數字整理成矩陣 再加密金鑰設另一個矩陣 兩矩陣相乘後得到一個受密碼保護的矩陣 以此矩陣傳遞秘密訊息 我們對於資料的加密及解密 稱為密碼學 這裡先學習加密 後面教到反矩陣單元時 再談解密 舉例說明 為了避免資料外洩 甲把公司電腦文件夾的四個數字的密碼a b c d 改寫為四個數字的密碼x y z u之後 再轉交給乙保管 已知a b c d與x y z u滿足關係 矩陣x y z u等於A乘上矩陣a b c d 其中只有甲才知道的二階方陣 A等於矩陣1 2 2 1 若甲的正確密碼a b c d為1 3 4 1 則由乙所保管的密碼x y z u為何 依題目條件及矩陣乘法定義得知 矩陣x y z u等於A乘上矩陣a b c d 等於矩陣1 2 2 1乘上矩陣1 3 4 1 等於矩陣9 5 6 7 故由乙所保管的密碼x y z u為9 5 6 7 單位矩陣有很多獨特性的性質 這單元僅是淺談 接下來單元陸續介紹哦 當然矩陣的應用範疇非常廣泛 這裡特別提到加密的密碼學 而後介紹反矩陣單元時 會講到解密的密碼學 請各位拭目以待喔